Transcription
Transformasi FourierIbnu Pradipta, 07/252949/TK/33237Firman Nanda, 07/257710/TK/33529Jurusan Teknik Elektro & Teknologi Informasi FT UGM,Yogyakarta3.4Transformasi FourierUntuk membandingkan gambaran dari deret fourier untuk sinyal yang periodik,transformasi Fourier digunakan untuk menunjukkan sinyal yang kontinyu dan bersifattidak periodik sebagai superposisi dari gelombang sinus kompleks. Dimaksudkan bahwasinyal periodik dapat direpresentasikan sebagai penjumlahan sinus dan cosinus denganderet Fourier menghasilkan sinyal yang sangat kuat. Kita akan menyampaikan hasilnyadalam sinyal yang aperiodik. Penjabarandari deret Fourier ke sinyal aperiodik dapatdiselesaikan dengan memperpanjang periodnya menjadi tak terbatas. Untukmendekatinya, kita dapat mengasumsikan bahwa deret Fourier dari perluasan secaraperiodik dari sinyal yang tidak periodik x(t) itu ada. Sinyal yang tidak periodik x(t)didefinisikan dalam interfal t0 t t0 T dengan T 0. Artinya, x(t) 0 berada padaluar interval ini. Kita dapat menghasilkan ekstensi periodik x(t) dari sinyal nonperiodik x(t) dengan memilih T konstan dimana T 2(t0 T) untuk lt0 - l dan T -2t0 untuk lt0 - l, dan menunjukkan(3-85)dimana k adalah setiap bilangan bulat tidak negatif, dan jelas T adalah periode dasarpengkonversinya, kita dapat mengekspresikan sinyal nonperiodik x(t) dalam hal sinyalperiodik dengan menggunakan(3-86)
Gambar 3-1. Perubahan sinyal non periodik menjadi sinyal periodik: (a) x(t)dan (b) x(t).Diskusi di atas diilustrasikan dalam gambar 3-1.Jika kita membiarkan periode T menjadi tak hingga, kemudian di limitkan, sinyalperiodik akan dikurangi sinyal aperiodik. Yaitu :(3-87)Berdasarkan Definisi II, periode sinyal x(t) dengan periode dasar T 1 0 mempunyaieksponensial kompleks deret Fourier , yang diberikan(3-88)Dimana(3-89)Selama integrasi dari Rumus (3-89) terkait, integran dari integralnya dapat dituliskan(3-90)Persamaan (3-90) berlaku karena Persamaan (3-86) dan (3-87).
Dalam Persamaan (3-90),90), kita memiliki kfo. KKf0 berbeda dan bentuk urutan diskritnomor. Sebagai T f0 menjadi lebih kecil dan lebih kecil sehingga kkf0 memiliki nilaiberkelanjutan. Jadi,daripada mencari Xk untuk setiap lc berbeda, kita akan mencariX(f)untuk masing-masingmasing frekuensi f di mana f kontinu dan dapat mengasumsikanbernilai apapun. Yang akan kita lakukan adalah untuk menggeneralisasi rumusan untukkoefisien deret Fourier dalam (30(30-90).90). Generalisasi dilakukan dengan membuat integralsebagaii fungsi frekuensi. Dalam pandangan; Persamaan (3(3-90),90), kita mendefinisikanfungsi frekuensi(3-91)(3Dapat kita katakan bahwa X(f) adalah transformasi FouFourierrier dari x (t) yangmengubah x(t)(t) dari domain waktu ke domain frekuensi. Berikut, kami akan menyajikanmenyajitransformasi invers Fourier yang mengubah XX(f) kembali ke x(t).(t). Dengan menggunakanPersamaan (3-91),91), kita dapat menulis ulang persamaan (3(3-90) sebagai(3-92)(3Persamaan (3-92)92) menunjukkan bahwa fungsi X adalah selubung dari deret FourierXk dengan diskalakan oleh TT. Dengan mensubstitusikan Persamaan (3-92)92) dan f0 : 1 / Tke Persamaan (3-88),88), kita mendapatkan(3-93)(3Mengambil nilai limit dari persamaan(3persamaan(3-93)93) dan menggunakan persamaan (3-87),(3kiramendapatkan,(3-94)(3Seperti yang kita bahas sebelumnya, T , f0 0.0. Artinya, dalam limit tersebut,kita dapat menyimpulkan kff0 f, f0 df,, dan penjumlahan dalam persamaan (3-94)(3menjadi sebuah integral. Dari Persamaan (3(3-94), kita memiliki(3-95)(3Dapat kita katakan bahwa x(t) adalah transformasi Fourier balik dari X(f) yangmengubah X(f) dari domain frekuensi kembali ke domain waktu.Oleh karena itu, Persamaan (3(3-91) dan (3-95)95) merupakan generalisasi deret Fourieruntuk sinyal nonperiodikl. Ini ddisebutisebut transformasi Fourier. Kita mengambil kesimpulanpengamatan ini dengan definisi sebagai berikut.
Deffinition IIIMisalkan x(t), integrable, yaitu: t , merupakan sinyal sedemikian rupa sehingga benar-benarbenarKemudian transformasi Fourier tratransformdari x(f)dinyatakan sebagai(3-96)(3Dan invers transformasi Fourier didefinisikan sebagai(3-97)(3Hubungan satu-ke-satusatu antara sinyal x (t) serta transformasi Fourier X ((ff) membentukTransformasi Fourier pasangan dengan notasi(3-98)(3Mari kitaa periksa persamaan (3(3-96).96). Persamaan ini mendefinisikan transformasiFourier. Seperti yang ditunjukkan oleh persamaan (3(3-96),96), transformasi Fouriermentransformasi fungsi x (t), fungsi dalam waktu, untuk (f), fungsi dalam frekuensi. JadiTransformasi Fourierer transformasi fungsi dalam domain waktu menjadi fungsi dalamdomain frekuensi. Sebaliknya, invers Fourier mengubah mengubah fungsi dalam domainfrekuensi ke dalam fungsi dalam domain waktu, seperti ditunjukkan dalam persamaan (3(397).( Perhatikan bahwa variabel f di Persamaan (3(3-96) dan (3-97)97) adalah variabel kontinu.Artinya, untuk setiap frekuensi f, kita memiliki X yang sesuai (f). Ini berbeda dari kasusderet Fourier di mana frekuensi ditentukan oleh kf0 diskrit dimana f0 1 / T adalahfrekuensi dasar.Contoh 3-1Berdasarkan pulsa persegi digambarkan pada Gambar 3-2(a) yang didefinisikan sebagai
Gambar 3-2. Pulsaulsa gelombang kotak x(t) (a) x(t) dan (b) transformasi fourier x(t)Kita akan menemukan transformasi Fourier dari x (t). Pulsa persegi panjang x(t)xadalah mutlak disediakan terintegrasi 0 T . Untuk f 0, kita memiliki(3-99)(3Untuk f 0 integral dapat disederhanakan menjadi(3-100)(3Menggunakan hukum L’Hopital kita dapat melihat bahwa(3-101)(3Maka kita menuliskan transformasi Fourier dari x(t) untuk semua nilai f sebagai(3-102)(3dengan pengertian bahwa nilai pada f 0 diperoleh dengan mengevaluasi limitnya.limitnyaDalam hal ini, X(f)(f) bernilai riilriil. Hal ini digambarkan pada Gambar 3-2(b).Melihat gambar 3-2(b).(b). Perlu diingat bahwa spektrum transformasi Fourier berubahselama lebar pulsa berubah. Jika Ts bernilai besar, 1/2Ts bernilai kecil, sehinggakomponen frekuensi rendahnya signifikan. Jika Ts sangat kecil, 1/2Ts akan besar,sehingga akan banyakyak komponen frekuensi tinggi yang masih sifnifikan. SepertiSepe yang
tampak pada gambar 3-2(b), poin pertama pada fungsi transformasi Fourier X(f)memotong pusat frekuensi yang disebut dengan titik null. Jika titik ini besar, hal inimenunjukkan bahwa frekuensi dalam jumlah besar terlibatkan. Di sisi lain, jika titiknullnya kecil hal ini menunjukkan hanya ada kanal sempit dari frekuensi rendah yangterlibatkan. Perlu diingat, dalam kenyataanya sinyal digital ditransmisikan dalam bentukpulsa. Jika kita membutuhkan sistem transmisi dengan pesat bit yang besar, lebar pulsaakan berukuran sangat kecil - Yang berarti keberadaan dari banyaknya sinyal frekuensitinggi yang tidak bisa diabaikan.Hal ini akan memilikiefek terhadap performa jalurtransmisi.Contoh 3-2Mari kita lihat persamaan pada gambar 3-2(a) lagi. misalkan kita melakukan pergeseranwaktu pada fungsi yang ditampilkan pada gambar 3-3. transformasi fourier dari fungsinyaadalah sebagai berikut(3-103)Membandingkan persamaan (3-103) dengan persamaan (3-99), satu yang bisa kitaketahui bahwa transformasi Fourier dari fungsi ini hampir sama dengan fungsi aslinyatanpa pergeseran fase, kecuali disini terdapat multiplier e-j2fTs dengan transformasiFourier aslinya. Fenomena ini akan dijelaskan pada sesi berikutnya.Gambar 3-3. Fungsi yang diperoleh dengan melakukan pergeseran waktu pada fungsi padagambar 3-2
Gambar 3-4. Fungsi GanjilContoh 3-3Berdasarkan fungsi pada gambar 3-4, transformasi Fourier dihitung seperti berikut(3-104)3.5Arti fisik Transformasi FourierPersamaan (3-96) menunjukkan bahwa Transformasi Fourier mentransformasi fungsix (t)dalam waktu domain ke fungsi X (f) dalam domain frekuensi, Artinya, untuk setiapfrekuensi f terdapat respon frekuensi yang sesuai X. Juga, untuk setiap frekuensi f selaluada frekuensi negatif-f. Yang dimaksud dengan X (f) dapat dilihat oleh persamaanberikut:(3-105)Mari kita lihat Persamaan (3-102). Dalam kasus ini kita dapat dengan mudah melihat
Sehingga:(3-106)Persamaan (3-l06) sangat mirip dengan Persamaan (3-68), yang seharusnya tidakmengejutkan. Pertimbangkan Persamaan (3-104). Dalam kasus ini, kita dapatmenunjukkan bahwa X (-f) -X (f) dan(3-107)Persamaan (3-107) sama persis dengan Persamaan (3-75) seperti yang diharapkan.Akhirnya, marilah kita mengetahui persamaan (3-103). Dalam hal ini(3-108)Menarik untuk membandingkan Persamaan (3-108) dan (3-106). Kita dapat melihatbahwa Persamaan (3-107) dapat diperoleh hanya dengan menggantikan t t - TS kedalam persamaan (3-106). Hal inimerupakan perkecualian karena fungsi yangberhubungan dengan (3-108) adalah pergeseran waktu yang berkaitan dengan (3-106).Pembaca dianjurkan untuk merujuk pada gambar 3-17 (a) dan 3-18.Dengan memeriksa Persamaan (3-97), kami mencatat bahwa setiap X (f) dikaitkandengan ej2πft . Akan mudah untuk membuktikan bahwa, jika X(f) a jb rejθ, X(-f) a– jb re-jθ dimana θ tan 1(b/a). Dengan demikian, untuk setiap f seperti yang kitalakukan sebelumnya, kita dengan mudah dapat membuktikan bahwa
(3-109)Dimana θ tan-1(b/a).Pada dasarnya, Transformasi Fourier menghasilkan sebuah fungsi X(f) dalamdomain frekuensi dari sebuah fungsi x(t) dalam domain waktu. Baik variable t maupun fmerupakan kontinu. Fungsi x(t) terdiri dari sebuah seri tak terbatas dari X(f) dan, untuksetiap f, X(f) menunjukkan kekuatan, atau intensitas, dari fungsi cos(2πft θ) yangsesuai dan θ tan-1(b/a) menunjukkan pergeseran fasa. Poin yang paling penting adalahbahwa setiap frekuensi f adalah terkait dengan fungsi kosinus.Kita dapat menyimpulkan bagian ini dengan mengatakan bahwa TransformasiFourier dapat dilihat sebagai alat analisis sedemikian rupa sehingga menghasilkankomponen frekuensi untuk setiap frekuensi f. Walaupun X (f) dapat menjadi kompleks, inimasih sesuai dengan fungsi cosinus dengan pergeseran fasa tertentu.3.6Sifat Transformasi FourierBeberapa sifat yang berguna dari Transformasi Fourier akan disajikan di sini. Sifatsifat ini memberikan kita wawasan dengan jumlah yang signifikan dalam mengubah dandalam hubungan antara deskripsi domain-waktu dan frekuensi-domain dari suatu sinyal.1. LinearitasPertimbangkan z(t) ax(t) by(t) sebagai kombinasi linear dari dua sinyal, x(t) dany(t), dimana a dan b adalah skalar. Transformasi Fourier z(t) dihitung dengan merubah x(t) dan y (t) dalam pola tranformasi Fourier sebagai berikut: ( ) { ( ) ( ) { ( ) { ( ) ( ) ( )(3-110)Properti linier dapat dengan mudah diperluas untuk kombinasi linear dari sejumlahsinyal. Properti ini jelas berlaku untuk invers Fourier transform.2. Time ShiftBiarkan z(t) x(t-t0) menjadi versi time-shifted dari x(t), di mana t0 adalah bilanganreal. Tujuannya adalah untuk mengaitkan Transformasi Fourier z(t) dengan TransformasiFourier x(t).## ( ) # ( ) # ( ! ) .(3-111)
Menunjukkan perubahan variable τ t – t0, diperoleh# ( ) * ( ) (,- ) ## # ( ) , (3-112)(3 ( ).Hasil pengalihan waktu dengan t0 adalah untuk mengalikan transformasi dengan . Ini berarti bahwa sinyal yang bergeser dalam waktu tidak mengubah besarnyamagnitudo Transformasi FouFourier tetapi menginduksi dalam transformasi sebuahpergeseran fasa, yaitu -2πft0.Sebuah rumus bermanfaat yang terkait adalah sebagai berikut: %& ( ). ( ! ).(3-113)(3Pembaca mungkin bingung dengan apa arti ( ). Mari ) ( ) ( ) ' ( , dengan r dan θ adalah fungsi dari f. Kemudian ( ) dan ( ) ( ) ' ( karena X(X(-f) dan X(f)f) adalah konjugat satu sama lain, ) ( ) ' ( dan ) ( )) ' ( . Kita sekarang menghitung (3-114)(3Persamaan (3-114)114) menunjukkan bahwa perkalian XX(f)) denganmenghasilkan pergeseran waktu dalam domain waktu. 3. Frekuensi ShiftDalam sifat 2 di atas, kitaa beranggapan pengaruh pergeseran waktu pada representasifrekuensi-domain.domain. Sekarang kita mempertimbangkan efek dari pergeseran frekuensi padasinyal waktu-domain.domain. Mengingat x(t) merupakan Transformasi Fourier-nyanya adalah X(f).Misalkan kita melakukan pergeseran frekuensi. Kita memiliki XX(f – α). PertanyaannyaPertanyaaadalah: Apa yang invers transformasi yang bersesuaian, yaitu dalam domain waktu, X(fX –α)?. Yaitu kita akan mengungkapkan transformasi Fourier dari Z (f) X(f – α) dalam halx(t), di mana α adalah bilangan rereal. Dengan definisi Transformasi Fourier,, kitak memiliki## # # ( ) * ( ) * ( ) .Melakukanakukan substitusi variabel v f – α, kita mendapatkan
(3-115)Maka hasil pengalihan frekuensi oleh α sesuai dengan kelipatan dalam domain waktuoleh sinusoida kompleks 0 .Sebuah rumus yang terkait yang bermanfaat adalah sebagai berikut:& 0 ( ). ( 1).(3-116)Arti persamaan (3-115) mungkin membingungkan karena sulit untuk memahami artifisik dari 0 ( ). Perhatikan bahwa x(t) adalah fungsi nyata. Fungsi 0 ( )berisi bagian imajiner. Apa artinya bagian imajiner ini? Hal ini dapat dijelaskan denganmencatatdanSehingga(3-117)Persamaan (3-117) menunjukkan bahwa jika kita kalikan fungsi x(t) dengancos(2παt), efek bersih adalah bahwa frekuensi sinyal asli x(t) akan bergeser. Untuksetiap frekuensi f pada x(t), akan ada dua frekuensi baru: f – α dan f α.Kita dapat mempertimbangkan masalah dengan cara lain. Transformasi Fouriermemberitahu kita bahwa fungsi x(t) terdiri dari fungsi kosinus. Pertimbangkan fungsisembarang x(t) cos(2πft θ). Jika x(t) dikalikan dengan cos(2παt), cos(2πft θ)menjadi cos(2πft θ) cos(2παt). Tetapi kita dapat menyatakan:(3-118)Dengan menggunakan baris ini penalaran kita dapat melihat bahwa setiap frekuensi fmenjadi f α dan f – α.
Jadi, meskipun 0 ( ) tidak bermakna fisik, cos(2παt)x(t) memiliki arti fisik.Seperti yang akan kita lihat pada bab berikutnya, ketika kita memodulasi sinyal x(t), kitakalikan dengan cos(2πfct) untuk beberapa frekuensi fc. Oleh karena itu Persamaan (3-116)berguna bagi kita untuk mencari transformasi Fourier dari cos(2πfct)x(t).4. KonvolusiKonvolusi z(t) dari dua sinyal x(t) dan y(t) didefinisikan sebagai berikut:(3-119)Operasi Konvolusi adalah komutatif, yaitu, x(t)*y(t) y(t)*x(t). Berikut ini, marilahkita mencoba untuk mencari transformasi Fourier dari z (t).(3-120)Sehingga kita memiliki(3-121)Ini adalah sifat penting yang dapat digunakan untuk menganalisis perilaku inputoutput dari sistem linier dalam domain frekuensi menggunakan perkalian transformasiFourier bukan konvolusi sinyal waktu. Arti fisik konvolusi akan menjadi jelas setelah kitatelah memperkenalkan konsep modulasi.5. ModulasiProperti modulasi sini mengacu pada perkalian dua sinyal, salah satu perubahansinyal atau "memodulasi" amplitudo yang lain. Kita ingin mengekspresikan TransformasiFourier produk z(t) x(t)y(t) dalam pola tranformasi Fourier dari sinyal x(t) dan y(t).Mari kita merepresentasikan x(t) dan y(t) dalam hal transformasi Fourier mereka masingmasing dalam hal berikut:
Istilah produk, z(t), sehingga dapat ditulis dalam bentuk(3-122)Melakukan perubahan variable η dan menggantikannya η f – v, kita mendapatkanBagian integral dari v dalam persamaan di atas merupakan konvolusi X (f dan Y Hi.Karena itu, sinyal termodulasi z (t) dapat ditulis kembali sebagai(3-123)Waco memberitahu kita bahwa z(t) adalah invers Transformasi Fourier X(f)*Y(f).Untuk kata lain, kita dapat mengatakan bahwa Transformasi Fourier z(t) x(t)y(t) adalahX(f)*Y(f). Hasil ini menunjukkan bahwa perkalian dua sinyal dalam domain waktumengarah pada konvolusi dari mereka mengubah dalam domain frekuensi, seperti yangditunjukkan oleh(3-124)Dua yang terakhir merupakan sifat yang sangat penting dalam analisis transformasiFourier. Kita dapat menyimpulkan bahwa konvolusi dalam domain waktu diubah untukmodulasi dalam domain frekuensi, dan modulasi dalam domain waktu ditransformasikanke konvolusi dalam domain frekuensi, yang ditunjukkan dalam persamaan (3-121) dan(3-124) masing-masing.Karena tidak berarti mudah untuk memahami arti fisik konvolusi, sekarang akandiberikan penjelasan melalui contoh.Contoh 3-4Diketahui x(u) 1 untuk -1 u 1 dan x(u) 0 setiap tempat lain, dan y(u) 1 – uuntuk 0 u 1 dan y(u) 0 setiap tempat lain. Fungsi x(u) dan y(u) diilustrasikan dalamgambar 3-2(a) dan 3-2(b).
Gambar 3-2(c) menunjukkan y(t – u) 1 – (t – u) u untuk beberapa konsan t.Seperti ditunjukkan, y(t – u) diperoleh oleh dua operasi. Pertama, y(u) terbalik. Kedua,y(u) meluncur baik ke kiri (saat t negative) atau ke kanan (ketika t adalah positif). Karenaitu kita dapat membayangkan bahwa y(t – u) meluncur dari minus tak terhingga hinggaplus tak terhingga seperti yang kita hitungAda kasus berbeda berikut.Kasus 1: - u -1(- t -1). Dalam hal ini z(t) 0.Kasus 2: -1 u 0(-1 t 0). Dalam hal ini, x(u) 1 berpotongan dengan y(t – u) danmulai untuk memiliki beberapa nilai karena hal ini benar-benar menghitung daerah sesuaidengan persimpangan x(u) dan y(t – u) untuk sebuah t tertentu,, seperti digambarkan padaGambar 3-2(d).
Gambar 3-5. Contoh konvolusi: (a) x(u); (b) y(u); (c) Kasus 1: y(t – u); (d) Kasus 2; (e) Kasus3; (f) Kasus 4; (g) z(t) x(t)*y(t)Jadi di wilayah ini, kita mengintegrasikan dari u -1 untuk u t dan kita memiliki
Kasus 3: 0 u 1(0 t 1). Sebagai y(t - u) bergeser dari t 0 ke t 1, daerah tersebutdipotong oleh x(u) dan y(t - u) tetap sama, seperti digambarkan pada Gambar 3-5(e).Pada t 0, z(t) x(t)*y(t) 1/2. Jadi z(t) adalah 1/2 di wilayah ini.Kasus 4: 1 u 2(1 t 2). Dalam kasus ini, seperti digambarkan pada Gambar 3-5(f),kita mengintegrasikan dari u t – 1 untuk u 1.Kasus 5: 2 u (2 t ). Dalam hal ini z(t) 0.Final z(t) x(t)*y(t) sekarang diilustrasikan pada Gambar 3-5(g). Perhatikan bahwakonvolusi memiliki beberapa efek smoothing. x(u) awalnya memiliki tepi tajam. Sekarangmereka pergi. Juga, fungsi tersebut diratakan dan melebar. Awalnya, lebar x(u) adalah2; sekarang 3. Tinggi x(u) juga berkurang dari 1 sampai 1 / 2.Seperti yang kita ditunjukkan sebelumnya, konvolusi adalah simetris dalam artibahwa ( ) ( ) ( ) ( ).Oleh karena itu, untuk kasus di Contoh 3-5, kita juga dapat memperbaiki y(u) dan geserx(u) dari - ke kanan. Ada tiga kasus lagi untuk x(t – u)y(u) tidak 0, seperti yangdigambarkan dalam Gambar 3-6(a), 3-6(b) dan 3-6(c).
Gambar 3-6. Konvolusi dari perspektif lainDalam konvolusi x(t)*y(t), kita dapat mempertimbangkan x(u) sebagai scannerscanning fungsi y(u) dari kiri ke kanan dan pelaporan hasilnya. Konsep ini akan bergunaketika kita mempelajari modulasi amplitudo. Mari kita sekarang ini merangkum sifatsifat yang disebutkan dalam bagian ini sebagai berikut:1. Linearitas2. Time Shift3.Frekuensi Shift4. Konvolusi
5. ModulationREFERENSI[1] R.C.T. Lee, Mao-Ching Chiu, and Jung-Shan Lin, “Communications Engineering,”Jhon Wiley & Sons (Asia) Pte Ltd. 2007.
Dan invers transformasi Fourier didefinisikan sebagai Hubungan satu-ke-satu antara sinyal x (t) serta transformasi Fourier X (Transformasi Fourier pasangan dengan notasi Mari kit a periksa persamaan (3 Fourier. Seperti yang ditunjukkan oleh persamaan (3 mentransformasi fungsi x (t), fungsi dalam waktu, untuk (f), fungsi dalam frekuensi.
