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144Kapitel 7Klassische Laminattheorie7.1EinführungNachdem die vorhergehenden Kapitel alle notwendigen Grundlagen zur Behandlung desmechanischen Verhaltens eines Faserverbund-Materials bereitgestellt haben, sollen nun dieGrundlagen der Berechnung von dünnen geschichteten Strukturen, sog. Laminaten, angegangen werden. Eine Literaturzusammenstellung, die der interessierte Leser für weitereDetails heranziehen kann, findet sich am Ende dieses Kapitels.Unter einem Laminat versteht man einen Mehrschicht-Verbund, der sich aus einer beliebigen Anzahl von Einzelschichten zusammensetzt. Die Eigenschaften der Einzelschichten(Material, Orientierung der Materialhauptachsen, Dicke der Schichten) sind hierbei beliebig. Eine schematische Darstellung ist in Abb. 7.1 gegeben. Im folgenden sollen nurEinzelschichten betrachtet werden, die durch unidirektionale Fasern verstärkt sind. DieRechenregeln, die nachfolgend vorgestellt werden, gelten aber auch z.B. für Einzelschichten, die mit einem Fasergelege oder Fasergewebe (sog. Fabric) verstärkt sind. Die Richtungder unidirektionalen Fasern in Schicht i wird durch Angabe des Faserwinkels θi festgelegt.Zur eindeutigen Angabe des Lagenaufbaus eines Laminats hat sich der sog. Laminat-Codebewährt. Hierbei werden die Einzelschichten anhand ihrer Faserorientierung gekennzeichnet, wobei von der untersten Schicht ausgehend in positive z Richtung gezählt wird. DasBeispiel der Abb. 7.1 wird dann gemäß dem Laminat-Code wie folgt gekennzeichnet:[0 / 45 /90 / 45 /0 ] .(7.1)Hierbei wird stillschweigend vorausgesetzt, dass alle Schichten sowohl die gleichen MaterialEigenschaften als auch die gleiche Dicke aufweisen. Sollte dies nicht der Fall sein, so ist diesgesondert anzugeben. Bei Einzelschichten, die einen positiven Faserwinkel aufweisen, wirddas 0 0 -Symbol oftmals weggelassen. Für das obige Beispiel ist dann eine gebräuchlicheSchreibweise:[0 /45 /90 / 45 /0 ] .(7.2)Im Rahmen des Laminat-Codes haben sich einige Abkürzungen bewährt. Beispielsweise begnügt man sich bei symmetrischen Laminaten (das sind Laminate, bei denen mandie obere Hälfte des Laminats durch Spiegelung der unteren Hälfte an der LaminatMittelebene erzeugen kann, z.B. ist die unterste Schicht mit der obersten Schicht identisch,während z.B. die zweite Schicht des Laminats mit der vorletzten Schicht übereinstimmt)
145Einführungzq 5 0 ySchicht 5xq 4 -45 Schicht 4q 3 90 Schicht 3q 2 45 zSchicht 2yq 1 0 Schicht 1h a,babxAbb. 7.1: Laminateinzelschichten (links), zusammengesetztes Laminat (rechts); die Darstellung ist in Dickenrichtung stark übertrieben, reale Laminate sind im Vergleich mit derLänge und Breite in aller Regel als dünn anzusehen, also i.Allg. h a, b.damit, nur eine Hälfte der Schichten anzugeben und die eckigen Klammern mit dem IndexS zu schließen. Ein Beispiel:[0 /90 /90 /0 ] [0 /90 ]S .(7.3)Direkt aufeinanderfolgende Schichten mit gleichen, aber betragsmäßig unterschiedlichenFaserwinkeln werden mit dem 0 0 Symbol zusammengefasst. Ein Beispiel:[ 45 / 45 ] [ 45] .(7.4)Kombinationen aus den beiden bisherigen Abkürzungen sind zulässig und üblich:[ 45 / 45 / 45 / 45 ] [ 45]S .(7.5)Direkt hintereinander mehrfach auftretende Einzelschichten werden durch einen Indexabgekürzt, der die Anzahl der mehrfach auftretenden Einzelschichten angibt:[0 /90 /90 /90 /0 ] [0 /90 3 /0 ]S .(7.6)Die im weiteren verwendete Nomenklatur wird in Abb. 7.2 an einem Schnitt durch einLaminat verdeutlicht: Das Laminat hat die Dicke h und besteht aus N beliebigen Schichten. Das Laminat wird durch die sog. Laminat-Mittelebene in zwei Hälften gleicher Dickegeteilt. Der Ursprung der Koordinaten x, y, z ist in dieser Mittelebene zu finden, wobeidie beiden Koordinaten x und y die Laminat-Mittelebene aufspannen und z die Dickenrichtung ist. Hervorzuheben ist hier der Unterschied zwischen der Laminat-Mittelebeneund der Symmetrie-Ebene eines Laminats. Die Laminat-Mittelebene teilt das Laminat in
146Klassische LaminattheoriezSchicht Nh2Schicht kh z0 z1 z22zk-1 zkzN-1 zNLaminat-MittelebeneSchicht 3Schicht 2Schicht 1Abb. 7.2: Schnitt durch ein Laminat, Nomenklatur.zwei gleich dicke Hälften (Teildicke h2 ) und ist damit eine rein geometrische Größe, die inkeinster Weise etwas mit dem Lagenaufbau des Laminats zu tun hat. Hingegen existierteine sog. Symmetrieebene nur dann, wenn man es auch tatsächlich mit einem symmetrischen Laminat zu tun hat. Ist eine Symmetrieebene vorhanden, so ist diese mit derLaminat-Mittelebene identisch.Jede Einzelschicht k wird durch zwei Dicken-Koordinaten gekennzeichnet. Dies ist zumeinen die Koordinate zk 1 , die die untere Grenze der Einzelschicht k beschreibt, zumanderen die Koordinate zk , die die obere Grenzfläche der Schicht k auszeichnet. Die Berührungsfläche zwischen zwei Einzelschichten eines Laminats nennt man auch Interface.Beispielsweise findet sich an der Stelle z z1 das Interface zwischen Schicht 1 und Schicht2.7.2Voraussetzungen und KinematikDie Klassische Laminattheorie stellt eine sehr einfache Form einer Laminattheorie darund ist eine Theorie, die Gültigkeit für dünne Laminate hat, wobei der Begriff ’dünn’quantitativ noch näher zu spezifizieren sein wird. Es sei hier aber festgehalten, dass voneinem ’dünnen’ Laminat ausgegangen werden darf, wenn die Dicke h wesentlich kleinerals die ebenen Abmessungen a und b des Laminats ist, wenn also h a, b gilt (s. auchAbb. 7.1, Detail rechts unten).Ziel der nachfolgenden Ausführungen ist es, aus der Kenntnis der Eigenschaften der Einzelschichten auf die Eigenschaften eines Laminats / Schichtverbundes zu schließen. ZurHerleitung der Klassischen Laminattheorie werden einige Annahmen hinsichtlich der Kinematik getroffen. Diese entsprechen der Anwendung der klassischen Kirchhoffschen Plattentheorie auf Laminate. Die Annahmen sind im Einzelnen:(i) Es wird ein perfektes Laminat vorausgesetzt. Perfekt soll an dieser Stelle bedeuten,dass ein perfekter Verbund / eine perfekte Verklebung zwischen den Einzelschichtenbesteht. Das Laminat ist ungeschädigt, und es bestehen keinerlei Schädigungen wieDelaminationen, Porigkeiten, Faserwelligkeiten u.ä.(ii) Es wird ein ebener Spannungszustand nicht nur in den Laminat-Einzelschichten,sondern auch im gesamten Laminat vorausgesetzt.
147Voraussetzungen und Kinematik(iii) Es wird die Kinematik einer Kirchhoff-Platte vorausgesetzt. Das bedeutet, dass dieHypothese vom Ebenbleiben der Querschnitte und die Normalenhypothese als gültigvorausgesetzt werden. Eine Gerade, die vor der Verformung normal zu der LaminatMittelebene steht, bleibt auch nach der Verformung eine Gerade und zudem normalzur verformten Laminat-Mittelebene.(iv) Die Dicke h des Laminats ändert sich während des gesamten Verformungsgeschehensnicht.Die kinematischen Annahmen (iii) und (iv) sind in Abb. 7.3 verdeutlicht, in dem ein Plattenelement nach der Klassischen Laminattheorie im ausgelenkten Zustand dargestellt ist.Ein Punkt auf der Laminat-Mittelebene soll sich hierbei um die Längsverschiebung u0 unddie Querverschiebung / Durchbiegung w0 bewegt haben. Das ausgelenkte Plattenelement0 zur Laminat-Mittelebene. Als Verschiebungsgrößen werden diehat dann die Neigung w xu0uBhzUnverformtVerformthABCD-yx A’- zByxB’C’D’zB¶ w0¶xw0zB sin(-yx) - zByxzB-yxxAbb. 7.3: Kinematik eines Laminats nach Klassischer Laminattheorie.Verschiebungen u0 (x, y), v0 (x, y), w0 (x, y) der Laminat-Mittelebene eingeführt, wobeiu0 , v0 , w0 ausschließlich von den ebenen Koordinaten x, y abhängen. Desweiteren seienu (x, y, z), v (x, y, z), w (x, y, z) die Verschiebungen an einem beliebigen Punkt im Laminat und mithin abhängig von allen drei Koordinaten x, y, z. Desweiteren ergibt sich einBiegewinkel ψx , der die Rotation des Querschnitts um die y Achse beschreibt. Da einEbenbleiben der Querschnitte angenommen wird, ist ψx nur eine Funktion der ebenenKoordinaten x, y: ψx ψx (x, y). Analog ergibt sich ein zweiter Biegewinkel ψy (x, y),der die Rotation des Querschnitts um die x Achse beschreibt. Aufgrund der in Abb. 7.3dargestellten Seitenansicht der Plattenelements ist der Biegewinkel ψy dort nicht sichtbar.Die in Abb. 7.3 gekennzeichneten Punkte B und C werden nun näher betrachtet, und eswird zunächst ein Zusammenhang zwischen der Längsverschiebung u0 der Mittelebene undder Längsverschiebung uB des Punktes B gesucht. Man kann an Abb. 7.3 sofort ablesen:uB u0 zB sin ( ψx ) u0 zB sin ψx .(7.7)uB u0 zB ψx .(7.8)Da kleine Winkel vorausgesetzt werden, kann näherungsweise sin ψx ' ψx angesetzt werden (Abb. 7.3, rechts), und es verbleibt:Dieser Zusammenhang gilt für einen beliebigen Punkt auf dem Querscnitt an einer beliebigen Stelle z, so dass man diesen Zusammenhang generalisieren kann. Für die Längsverschiebung u eines beliebigen Punktes an der Stelle z gilt also:u u0 zψx .(7.9)
148Klassische LaminattheorieEine analoge Beziehung kann man auch für die zweite ebene Verschiebung v anschreiben:v v0 zψy .(7.10)Da die Klassische Laminattheorie auf der Annahme beruht, dass sich die Dicke des Laminats h nicht ändert, ist die Verschiebung bzw. Durchbiegung w stets identisch mit derDurchbiegung w0 der Laminat-Mittelebene:w w0 .(7.11)Schlussendlich kommt die Normalenhypothese ins Spiel, wonach eine Gerade, die im unverformten Zustand eine Normale zur Laminat-Mittelebene, ist auch im verformten Zustandeine Gerade und zudem eine Normale zur Laminat-Mittelebene bleibt. Damit bleibt derrechte Winkel zwischen Querschnitt und Laminat-Mittelebene erhalten, und man kannaus Abb. 7.3 ablesen: w0 ψx .(7.12) xAnalog gilt dann für ψy : w0.(7.13) ψy yMit der eingeführten Kinematik stellt sich schließlich das Verschiebungsfeld nach der Klassischen Laminattheorie wie folgt dar:u (x, y, z) u0 (x, y) zψx (x, y) u0 zv (x, y, z) v0 (x, y) zψy (x, y) v0 z w0, x w0, yw (x, y, z) w0 (x, y) .7.3(7.14)Verzerrungen und SpannungenAus dem Verschiebungsfeld nach Klassischer Laminattheorie kann das zugehörige Verzerrungsfeld berechnet werden:εxx u u0 2 w0 z, x x x2εyy v v0 2 w0 z, y y y 2εzz w 0, zγxy u v u0 v0 2 w0 2z, y x y x x yγxz u w 0, z xγyz v w 0. z y(7.15)
149Verzerrungen und SpannungenEs verbleiben also nur die drei ebenen Verzerrungen εxx , εyy und γxy . Es ist üblich, dieverbleibenden obigen Gleichungen vorteilhaft in einer Vektor-Schreibweise zusammenzufassen: 0 0 εxx (x, y, z)εxx (x, y)κxx (x, y) εyy (x, y, z) ε0yy (x, y) z κ0yy (x, y) .(7.16)00γxy (x, y, z)γxy (x, y)κxy (x, y)Hierin sind εxx (x, y, z), εyy (x, y, z) und γxy (x, y, z) die Dehnungen und Gleitung an einembeliebigen Punkt im Laminat, die sich aus den Verzerrungen ε0xx (x, y), ε0yy (x, y) und der0Gleitung γxy(x, y) der Laminatmittelebene, sowie den Verkrümmungen κ0xx (x, y), κ0yy (x, y)und der Verdrillung κ0xy (x, y) der Laminat-Mittelebene zusammensetzen (s. Abb. 7.4).Der hochgestellte Index ’0’ verdeutlicht hierbei, dass es sich um Größen handelt, dieauf die Laminat-Mittelebene bezogen sind. Die Verzerrungen, Verkrümmungen und dieDehnung e0xxDehnung e0yyyGleitung g 0xyyxyxyxyxyxKrümmung k 0xxxKrümmung k 0yyDrillung k0xyAbb. 7.4: Elementare Verformungszustände eines Laminats: Verzerrungen der LaminatMittelebene (oben), Verkrümmungen und Verdrillung der Laminat-Mittelebene (unten).Verdrillung der Laminatebene sind hierbei wie folgt definiert: ε0 ε0xxε0yy0γxy u0 x v0 y u0 v0 y x , κ0 κ0xxκ0yyκ0xy 2 w0 x2 2 w0 y 22 2 w0 x y . (7.17)Sind die Verzerrungen, Verkrümmungen und Verdrillung der Laminat-Mittelebene einmalbekannt, so können aus dem Hookeschen Gesetz die schichtweisen Spannungen berechnetwerden. Für die k te Schicht eines Laminats ergibt sich exemplarisch: σxxQ̄11 Q̄12 Q̄16εxx σyy Q̄12 Q̄22 Q̄26 εyy τxy kQ̄16 Q̄26 Q̄66 kγxy 0 0 Q̄11 Q̄12 Q̄16εxxκxx0 z(7.18)Q̄12 Q̄22 Q̄26εyyκ0yy ,0Q̄16 Q̄26 Q̄66 kγxyκ0xywobei zk 1 z zk gelten muss. Da die elastischen Eigenschaften der Einzelschichtenaufgrund verschiedener Materialien oder Faserorientierungen unterschiedlich sein können,ergeben sich im Falle eines Laminats in den Interfaces benachbarter Schichten i.Allg.
150Klassische LaminattheoriezysxxsxxxzysxxsxxxAbb. 7.5: Exemplarische Spannungsverläufe in einem Laminat (oben) und in einer isotropen Platte (unten).Sprünge in den Spannungsverläufen, wie es in Abb. 7.5, oben, exemplarisch für die Normalspannung σxx dargestellt ist. In Abb. 7.5 wurden die dargestellten Spannungen inMembranspannungen (Spannungsbild links) und Biegespannungen (Spannungsbild rechts)0aufgeteilt. Während Erstere das Resultat der Dehnungen ε0xx , ε0yy und der Gleitung γxyder00Laminatmittelebene sind, sind Letztere die Folge der Verkrümmungen κxx , κyy und derVerdrillung κ0xy . Es ist noch anzumerken, dass sich ein Laminat hinsichtlich der Verteilungder Spannungen über den Querschnitt ganz ähnlich wie ein statisch unbestimmtes Balkensystem verhält. ’Steife’ Schichten ziehen demnach große Spannungen an, während ’weiche’Schichten weniger beansprucht werden. Zum Vergleich zeigt Abb. 7.5, unten, außerdemqualititative Spannungsverläufe an einer isotropen Struktur unter Normalkraftbeanspruchung und Biegebeanspruchung. Natürlich treten die für ein Laminat typischen Sprüngein den Spannungsverteilungen hier nicht auf.7.4Konstitutives Laminat-VerhaltenDas Ziel der konstitutiven Gleichungen ist es, einen Zusammenhang zwischen den Schnittgrößen im Laminat (dies sind die noch einzuführenden Laminat-Schnittkräfte und dieLaminat-Schnittmomente) einerseits, und den sich einstellenden Verzerrungen, Verkrümmungen und Verdrillung andererseits mittels eines Materialgesetzes herzustellen. DiesesMaterialgesetz wird in diesem Abschnitt schrittweise hergeleitet.000Als Schnittgrößen im Laminat werden die Laminat-Schnittkräfte Nxx, Nyy, Nxypro Ein000heitsbreite und die Laminat-Schnittmomente Mxx , Myy , Mxy pro Einheitsbreite einge000führt (Abb. 7.6). Die Schnittkräfte Nxx, Nyysind also Normalkräfte, wohingegen Nxy
151Konstitutives Laminat-Verhalten0Nxy0NyyNxx0zxNxx0M xy0M yy0xyNxy0Nyy00M xy0M xxM xy0zyM yy0M xx0M xy0Abb. 7.6: Schnittgrößen im Laminat: Schnittkräfte (links), Schnittmomente (rechts).00sind Biegemomente, das Schnittmo, Myyeine Schubkraft ist. Die Schnittmomente Mxx0ment Mxy ist hingegen ein Drillmoment. Die Schnittkräfte haben stets die Einheit [Kraft/ Längeneinheit] (also z.B. [N/mm]), während die Schnittmomente die Einheit [Kraft ·Längeneinheit/Längeneinheit] (also z.B. [N]) haben. Damit sind die Laminat-Schnittkräftestreckenhaft verteilte Kräfte, die Laminat-Schnittmomente sind streckenhaft verteilte Momente.Hinsichtlich der Bezeichnungen der Schnittmomente sind noch einige Kommentare notwendig. Im Gegensatz zur technischen Balkentheorie bezeichnen die Indizes der Laminatbiegemomente diejenige Spannungskomponente, durch die das Schnittmoment hervorge0eine Folge der Normalspannung σxx und ein Moment um dierufen wird. Demnach ist Mxxy Achse. Hingegen ist der Index der Biegemomente eines Balkens üblicherweise genau anders herum definiert. Hier ruft dann die Normalspannung σxx im Balken ein BiegemomentMy hervor, das den Querschnitt um die y Achse verdreht.000Die Laminat-Schnittkräfte Nxx, Nyy, Nxylassen sich aus der Integration der zugehörigenSpannungen über die Dicke des Laminats berechnen: 0Z hNxxσxx20 Nyy σyy dz. h02Nxyτxy (7.19)Die hierin geforderte Integration durch die Dicke h des Laminats kann bei einem Laminat i.Allg. nicht kontinuierlich durchgeführt werden, da die elastischen Eigenschaftenschichtweise unterschiedlich sein können. Daher zerfällt das Integral über die Dicke h inN Teilintegrale: 0 Nxxσxxk NX Z zk0 Nyy σyy dz. (7.20)z0k 1k 1Nxyτxy kAnalog können die Laminat-Schnittmomente als Resultierende der jeweiligen Spannungskomponenten, multipliziert mit dem Hebelarm z, ermittelt werden: 0Z hσxxσxxMxxk NX Z zk20 σyy zdz σyy zdz. Myy hz0k 12k 1τxyτxy kMxy (7.21)
152Klassische LaminattheorieErsetzt man hierin mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes die Spannungen durch die Verzerrungen, erhält man: 0Nxxk NX Z zk0 Nyy z0k 1k 1Nxy 0 Mxxk NX Z zk0 Myy 0k 1 zk 1Mxy Q̄11 Q̄12 Q̄16Q̄12 Q̄22 Q̄26 Q̄16 Q̄26 Q̄66 k Q̄11 Q̄12 Q̄16Q̄12 Q̄22 Q̄26 Q̄16 Q̄26 Q̄66 k ε0xxε0yy z 0γxy ε0xxε0yy z 0γxy κ0xxκ0yy dz,κ0xy κ0xxκ0yy zdz.κ0xy(7.22)Führt man die hierin vorgeschriebenen Integrationen durch, so erhält man: 0NxxA110 Nyy A120NxyA16 0 B11Mxx0 Myy B120MxyB16 ε0xxε0yy 0γxy ε0xxε0yy 0γxy A12 A16A22 A26 A26 A66 B12 B16B22 B26 B26 B66 0 B11 B12 B16κxxB12 B22 B26 κ0yy ,κ0xyB16 B26 B66 0 D11 D12 D16κxx D12 D22 D26κ0yy .D16 D26 D66κ0xy(7.23)Hierin wurden die folgenden Abkürzungen vereinbart (i, j 1, 2, 6):ZAij h2ZBij h2 h2ZDij h2h2 h2Q̄ij dz,Q̄ij zdz,Q̄ij z 2 dz.(7.24)Die Größen Aij werden Membransteifigkeiten, Dehnsteifigkeiten oder Scheibensteifigkeiten00genannt. Sie stellen einen Zusammenhang zwischen den Laminat-Schnittkräften Nxx, Nyy,0000Nxy einerseits, und den Verzerrungen εxx , εyy , γxy der Laminatmittelebene andererseitsher. Die Größen Dij werden als Plattensteifigkeiten oder Biegesteifigkeiten bezeichnet und000verbinden die Laminat-Schnittmomente Mxx, Myy, Mxymit den Verkrümmungen κ0xx , κ0yy0und der Verdrillung κxy der Laminat-Mittelebene.Die Terme Bij hingegen - meist als Koppelsteifigkeiten bezeichnet - stellen eine Besonderheit geschichteter Flächentragwerke dar. Durch sie werden die Laminat-Schnittkräfte000Nxx, Nyy, Nxymit den Verkrümmungen κ0xx , κ0yy und der Verdrillung κ0xy der LaminatMittelebene gekoppelt. Zudem sorgen die Koppelsteifigkeiten für einen Zusammenhang000zwischen den Laminat-Schnittmomenten Mxx, Myy, Mxyund den Verzerrungen ε0xx , ε0yy ,0γxy der Laminatmittelebene. Solche Koppelterme tauchen bei homogenen Flächentragwerken wie z.B. einer isotropen Platte natürlich nicht auf.
153KoppeleffekteSind die Eigenschaften der Laminateinzelschichten im jeweiligen Intervall zk 1 z zkkonstant, so können die Integrale in (7.24) einfach gelöst und in Summen zerlegt werden:Aij k NXk 1Q̄ij,k (zk zk 1 ) ,Bijk N 1X2 Q̄ij,k zk2 zk 1,2 k 1Dijk N 1X3 Q̄ij,k zk3 zk 1.3 k 1(7.25)Üblicherweise schreibt man (7.23) in zusammengefasster Form: 0Nxx0Nyy0Nxy0Mxx0Myy0Mxy 16D26D66 ε0xxε0yy0γxyκ0xxκ0yyκ0xy . (7.26)Die so entstandene ’Materialmatrix’ des Laminats wird als ’Laminat-Steifigkeitsmatrix’,umgangssprachlich auch gerne als ’ABD-Matrix’ bezeichnet. In symbolischer Form schreibtman auch: 0 0 A BNε.(7.27) M0B Dκ0Der Sprachgebrauch ist hierbei häufig: A BMembranquadrant Koppelquadrant .B DKoppelquadrant Plattenquadrant(7.28)Die Konstitutivbeziehung (7.26) berücksichtigt mit (7.24) den Lagenaufbau des Laminatssowie die elastischen Eigenschaften aller Einzelschichten. Weil die Steifigkeiten Aij , Bijund Dij in (7.24) durch Integrationen über die Dicke h des Laminats gewonnen werden,kann man sie als globale bzw. effektive Laminat-Eigenschaften verstehen. Die KlassischeLaminattheorie verwendet damit also ’verschmierte’ Kenngrößen Aij , Bij and Dij für dasLaminat, die als über die Dicke gemittelte Größen aufgefasst werden können. Man sprichtdann auch von einer sog. ’Einschichttheorie’, weil das Lamimnat rechnerisch auf seineMittelebene mit entsprechenden ’Effektiveigenschaften’ Aij , Bij and Dij reduziert wird.7.5KoppeleffekteDas Materialgesetz (7.26) impliziert, dass bei einer voll belegten Laminat-Steifigkeitsmatrix0eine beliebige Schnittgröße alle Verzerrungen ε0xx , ε0yy , γxysowie beide Verkrümmungen000κxx , κyy und auch die Verdrillung κxy der Laminatmittelebene hervorruft. Abb. 7.7 zeigt0dies für das Beispiel der Laminat-Schnittkraft Nxx. Offenbar sind bei beliebigen Laminaten i.Allg. sowohl das Scheiben- als auch das Plattenverhalten miteinander gekoppelt.
154Klassische LaminattheorieDehnung e0xxDehnung e0yyKrümmung k 0xxKrümmung k 0yyGleitung g 0xyNxx0Nxx0Drillung k 0xyAbb. 7.7: Koppeleffekte in einem beliebigen Laminat mit vollbelegter LaminatSteifigkeitsmatrix: Verzerrungen der Laminat-Mittelebene (oben) und Verkrümmungenund Verdrillung der Laminat-Mittelebene (unten), hervorgerufen durch die Laminat0Schnittkraft Nxx.An dieser Stelle zeigt sich, dass die gängige Unterscheidung ebener Flächentragwerke in’Scheiben’ und ’Platten’ bei Laminaten keinen Sinn macht, da Schnittkräfte eine Plattenwirkung entfalten können, während Schnittmomente eine Membranwirkung nach sichziehen können.Bei näherer Betrachtung zeigt sich, dass diejenigen Steifigkeits-Komponenten in (7.26),die den Unterschied beispielsweise zu isotropen Flächentragwerken ausmachen, die TermeA16 , A26 im Membranquadranten, die Terme D16 , D26 im Plattenqudranten, sowie alleKoppelsteifigkeiten Bij sind. Die mit ihnen verbundenen Koppeleffekte nennt man wiefolgt:A16 , A26D16 , D26Bij7.5.1: Schubkopplung,: Biege-Drill-Kopplung,: Biege-Dehn-Kopplung.SchubkopplungEine Schubkopplung tritt in solchen Laminaten auf, bei denen die Terme A16 , A26 nichtverschwinden. In solchen Laminaten sorgen Dehnungen ε0xx , ε0yy für ein Auftreten der00Laminat-Schnittkraft Nxy. Eine Schubverzerrung γxyruft hingegen die beiden Laminat00Schnittkräfte Nxx und Nyy hervor. Ein Beispiel für das Auftreten der Schubkopplung isteine Laminat-Einzelschicht, die um einen Winkel θ gegenüber der x Achse gedreht ist(’Off-axis-Schicht’, Abb. 7.8).Ein Laminat, dessen Schubkopplungs-Terme A16 , A26 verschwinden, nennt man te zeigen dann eine Biege-Drill-Kopplung (Abb. 7.9), wenn die Steifigkeiten D16und D26 ungleich null sind. Die Verkrümmungen κ0xx , κ0yy der Laminat-Mittelebene sind0dann mit beteiligt an der Erzeugung des Drillmoments Mxy. Die Verdrillung κ0xy der
155Koppeleffekte0Nxxx2 yunverformtverformtx1qz x30NxxxAbb. 7.8: Schubkopplung am Beispiel einer off-axis-Einzelschicht.Mxx0[ 45 /-45 /0 /90 ]SMxx0Abb. 7.9: Biege-Drill-Kopplung am Beispiel eines typischen Flugzeugbau-Laminats.Laminat-Mittelebene andererseits ist dann mit die Ursache für die beiden Biegemomente00.und MyyMxx7.5.3Biege-Dehn-KopplungEine Biege-Dehn-Kopplung tritt immer dann auf, wenn eine oder mehrere Koppelstei0der Laminat-Mittelebenefigkeiten Bij ungleich null sind. Die Verzerrungen ε0xx , ε0yy , γxy000rufen dann die Laminat-Schnittmomente Mxx , Myy , Mxy hervor. Gleichzeitig sorgen dieVerkrümmungen κ0xx , κ0yy und die Verdrillung κ0xy der Laminat-Mittelebene für ein Auftre000ten der Laminat-Schnittkräfte Nxx, Nyy, Nxy. Beispiele sind in den Abbildungen 7.10 und7.11 gegeben. Während am unsymmetrischen Kreuzverbund [0 /90 ] die KoppelsteifigkeiNxx0q 2 90q 1 0Nxx0Abb. 7.10: Biege-Dehn-Kopplung am Beispiel eines unsymmetrischen Kreuzverbundes.ten B11 und B22 auftreten, sind beim unsymmetrischen Winkelverbund [ 45 ] die Terme
156Klassische LaminattheorieB16 und B26 ungleich null. Biege-Dehn-Kopplungen können nur bei unsymmetrischen LaNxx0 q-qNxx0Abb. 7.11: Biege-Dehn-Kopplung am Beispiel eines unsymmetrischen Winkelverbundes.minaten auftreten. Umgekehrt bedeutet das, dass ein symmetrisches Laminat stets freivon Biege-Dehn-Kopplungen ist: Bij 0.7.5.4Anmerkungen zu KoppeleffektenKoppeleffekte sind allgemein unerwünschte Begleiterscheinungen, die eine Spezialität imUmgang mit geschichteten Flächentragwerken darstellen und z.B. bei homogenen isotropen Flächentragwerken wie einer Aluminium-Platte nicht auftreten. Zum einen erschwerenKoppeleffekte die Analyse einer Laminatstruktur z.T. erheblich, insbesondere dann, wennman an einfachen analytischen Rechenverfahren interessiert ist, wie sie in der praktischenIngenieursarbeit unerlässlich sind. Zum anderen können Koppeleffekte teilweise gravierende schwächende Auswirkungen auf das mechanische Verhalten eines Laminats haben.0Als Beispiel soll ein Laminat betrachtet werden, das unter einer Druckbelastung Nxxsteht.Sofern das Laminat symmetrisch ist, wird es unter der Druckbelastung zu einem reinenDehnungszustand ε0xx , ε0yy kommen (wobei hier angenommen wird, dass das Laminat aus0auftritt). Erst ab der Laststufe, ab der die Beullastgeglichen ist, so dass keine Gleitung γxydes Laminats überschritten ist, werden sich die Verkrümmungen κ0xx , κ0yy sowie die Verdrillung κ0xy einstellen. Ist das Laminat hingegen unsymmetrisch, so werden bei noch sokleinen Lasten Verkrümmungen κ0xx , κ0yy und / oder die Verdrillung κ0xy hervorgerufen. Fürdiesen spezifischen Fall kann man also festhalten, dass sich ein unsymmetrisches Laminatpotentiell ’weicher’ verhält, als es ein ähnliches symmetrisches Laminat tun wird.Es gibt aber auch Beispiele, bei denen Koppeleffekte eine durchaus vorteilhafte Wirkungentfalten können. Betrachtet man nochmal das Beulverhalten eines Laminats, diesmalallerdings unter einer ebenen Schubbeanspruchung, so kann sich die Biege-Drill-Kopplungsowohl vorteilhaft als auch nachteilhaft auf die Höhe der erreichbaren Beullast auswirken,was grundsätzlich vom individuellen Lagenaufbau des Laminats abhängt. Hierzu folgen inden entsprechenden Abschnitten zur Stabilität der Laminate noch einige Ausführungen.Es ist also in jedem Fall in das Ermessen des Anwenders gestellt zu entscheiden, obKoppeleffekte toleriert werden können, ob sie vollständig vermieden werden müssen, oderob sie sogar erwünscht sein können.
157Spezielle Laminate7.6Spezielle LaminateDer Fall einer vollbesetzten Laminat-Steifigkeitsmatrix im Konstitutivgesetz (7.26) ist inder praktischen Anwendung eher selten. In vielen wichtigen Fällen vereinfacht sich dasKonstitutivgesetz erheblich.7.6.1Isotrope EinzelschichtIm Falle einer isotropen Einzelschicht (was einer isotropen Platte bzw. Scheibe entspricht)vereinfacht sich die Steifigkeitsmatrix erheblich: A BB D A11 A12 0000A12 A22 000000 A66 000000 D11 D12 0000 D12 D22 000000 D66 . (7.29)Ein solches Flächentragwerke ist also frei von allen Laminat-spezifischen Koppeleffekten,es treten demnach keine Schubkopplung, keine Biege-Dehn-Kopplung und keine BiegeDrill-Kopplung auf.Die einzelnen Einträge der Steifigkeitsmatrix in (7.29) lassen sich unter Verwendung derIngenieurkonstanten E, G und ν noch weiter spezifizieren:Eh, A221 ν2νEhA12 Q12 h , A661 ν2Eh3h3 ,D11 Q111212 (1 ν 2 )h3νEh3D12 Q12 ,1212 (1 ν 2 )A11 Q11 h 7.6.2 Q22 h Eh,1 ν2 Q66 h Gh,h3Eh3 ,1212 (1 ν 2 )h3Gh3 Q66 ,1212D22 Q22D66(7.30)Orthotrope EinzelschichtEine orthotrope Einzelschicht zeigt die gleiche Belegung der Steifigkeitsmatrix wie in(7.29), allerdings sind in den einzelnen Komponenten in A und D nun die Ingenieurkonstanten E11 , E22 , ν12 , ν21 und G12 zu berücksichtigen:E11 h, A221 ν12 ν21ν12 E22 hA12 Q12 h , A661 ν12 ν21h3E11 h3D11 Q11 ,1212 (1 ν12 ν21 )h3ν12 E22 h3D12 Q12 ,1212 (1 ν12 ν21 )A11 Q11 h Q22 h E22 h,1 ν12 ν21 Q66 h G12 h,h3E22 h3 ,1212 (1 ν12 ν21 )h3G12 h3 Q66 ,1212D22 Q22D66(7.31)
1587.6.3Klassische LaminattheorieAnisotrope Einzelschicht / Off-axis EinzelschichtFür eine anisotrope Einzelschicht ergibt sich die folgende Belegung der Steifigkeitsmatrix: A BB D A11 A12 A16 000A12 A22 A26 000A16 A26 A66 000000 D11 D12 D16000 D12 D22 D26000 D16 D26 D66 . (7.32)Eine anisotrope Einzelschicht zeigt zwar keine Biege-Dehn-Kopplung, allerdings treteni.Allg. sowohl die Schubkopplung als auch die Biege-Drill-Kopplung auf. Die einzelnenTerme in (7.32) kann man wie folgt anschreiben:Aij Q̄ij h,7.6.4Dij Q̄ijh3.12(7.33)Symmetrische LaminateEin symmetrisches Laminat ist immer frei von Biege-Dehn-Kopplung. Jedoch können sowohl die Schubkopplung als auch die Biege-Drill-Kopplung in keinem Fall von vornehereinausgeschlossen werden: 7.6.5A BB D A11 A12 A16 000A12 A22 A26 000A16 A26 A66 000000 D11 D12 D16000 D12 D22 D26000 D16 D26 D66 . (7.34)KreuzverbundeEin Kreuzverbund beinhaltet nur Einzelschichten mit den Orientierungswinkeln θk 0 oder θk 90 . Solche Laminate sind stets ausgeglichen (Schubkopplungs-Terme A16 A26 0) und frei von Biege-Drill-Kopplung, also D16 D26 0. Ob KreuzverbundeBiege-Dehn-Kopplung mit sich bringen, hängt davon ab, ob sie Symmetrieeigenschaftenaufweisen oder nicht.Ein Beispiel für einen unsymmetrischen Kreuzverbund ist das [0 /90 ]-Laminat. In diesemFalle ist die Laminat-Steifigkeitsmatrix wie folgt belegt: A BB D A11 A120 B1100A12 A2200 B11 000A66 000B1100 D11 D1200 B11 0 D12 D22000000D66 . (7.35)
159Spezielle LaminateEin symmetrisches Kreuzverbund-Laminat der Art [0 /90 ]S ist hingegen frei von jeglicherBiege-Dehn-Kopplung, und es verbleibt: 7.6.6A BB D A11 A12 0000A12 A22 000000 A66 000000 D11 D12 0000 D12 D22 000000 D66 . (7.36)WinkelverbundeEin Winkelverbund ist ein Laminat, in dem zu jeder Schicht mit dem Winkel θ eine Schichtmit dem entgegengesetzten Winkel θ existiert. Solche Laminate sind stets ausgeglichen(A16 A26 0). Ob Biege-Drill-Kopplung und / oder Biege-Dehn-Kopplung auftritt,hängt vom konkreten Lagenaufbau ab.Ein Beispiel für einen unsymmetrischen Winkelverbund ist ein Laminat der Bauweise [ θ].Die Laminat-Steifigkeitsmatrix hat hier die folgende Belegung: A BB D A11 A12 000 B16A12 A22 000 B2600 A66 B16 B26 000 B16 D11 D12 000 B26 D12 D22 0B16 B26 000 D66 . (7.37)Ein solches Laminat ist demnach interessanterweise frei von Biege-Drill-Kopplung (D16 D26 0), weist aber die Biege-Dehn-Kopplungs-Terme B16 und B26 auf.Ein symmetrischer Winkelverbund der Art [ θ]S ist zwar naturgemäß frei von jeglicherBiege-Dehn-Kopplung, hingegen tritt aber Biege-Drill-Kopplung auf: 7.6.7A BB D A11 A12 0000A12 A22 000000 A66 000000 D11 D12 D16000 D12 D22 D26000 D16 D26 D66 . (7.38)Quasi-is
146 Klassische Laminattheorie z Laminat-Mittelebene z 0 z 1 z 2 h 2 h 2 Schicht 1 Schicht 2 Schicht 3 Schichtk SchichtN z k-1 z k z
