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Finanzmathematik in der BankpraxisVom Zins zur OptionBearbeitet vonThomas Heidorn, Christian Schäffler7. Auflage 2017. Buch. X, 330 S. HardcoverISBN 978 3 658 13447 1Format (B x L): 14,8 x 21 cmGewicht: 727 gWeitere Fachgebiete Mathematik Operational Research Finanz- undVersicherungsmathematikZu Inhaltsverzeichnisschnell und portofrei erhältlich beiDie Online-Fachbuchhandlung beck-shop.de ist spezialisiert auf Fachbücher, insbesondere Recht, Steuern und Wirtschaft.Im Sortiment finden Sie alle Medien (Bücher, Zeitschriften, CDs, eBooks, etc.) aller Verlage. Ergänzt wird das Programmdurch Services wie Neuerscheinungsdienst oder Zusammenstellungen von Büchern zu Sonderpreisen. Der Shop führt mehrals 8 Millionen Produkte.

2.Finanzmathematik

2.1 Grundlagen der Effektivverzinsung2 FinanzmathematikWährend in der wissenschaftlichen Literatur die Analyse und der Vergleich vonBarwerten als bestes Entscheidungskriterium angesehen werden, ist in der Praxis der Wertpapiermärkte nach wie vor die Effektivverzinsung das entscheidende Kriterium. Dies liegt auch an der Besonderheit, dass ein mehrfaches Wechseln von Einzahlungen und Auszahlungen in der Regel nicht vorkommt. Darüberhinaus haben sich die Akteure daran gewöhnt, in Renditen zu denken, so dasseine ausführliche Analyse dieses Bereichs für Finanzmarktteilnehmer sehr wichtigist.In diesem Abschnitt werden zuerst die Grundlagen der Effektivverzinsung einschließlich einiger Näherungsformeln bei festverzinslichen Wertpapieren besprochen. Anschließend werden Papiere des Geldmarkts analysiert, denen in derRegel eine lineare Zinsverteilung zugrunde liegt. Danach wird der Anleihenmarktbei glatter Restlaufzeit diskutiert und unter diesem Gesichtspunkt auch dieZinsstrukturkurve und das Zinsänderungsrisiko behandelt. Schließlich werdendann Effektivzinsen bei gebrochenen Laufzeiten mit einbezogen.2.1 Grundlagen der EffektivverzinsungGrundsätzlich ist es denkbar, anfallende Zahlungen auf den Endpunkt des Zahlungsstroms aufzuzinsen, d.h. theoretisch wiederanzulegen, um daraus den Effektivzins zu ermitteln. Dies geschieht beispielsweise bei Krediten und ist sogar inDeutschland in der Preisangabenverordnung vorgeschrieben. Wertpapierhändler denken jedoch in Kursen, so dass die Zahlungen auf den Abrechnungstagbezogen werden. Die zukünftigen Zahlungen werden also auf den Valutatag abgezinst.Beim Kauf zwischen zwei Kuponterminen muss der Käufer meist auch anteiligZinsen für die bereits abgelaufene Zeit des nächsten Kupons entrichten; es müssen bei Kauf zusätzlich Stückzinsen gezahlt werden. Die Kurse werden jedochmeist clean notiert, d.h. ohne Stückzinsen, während sich die Effektivzinsen imRegelfall auf die geleistete Zahlung, also einschließlich der Stückzinsen, beziehen(dirty price).Bei verbrieftem Fremdkapital handelt es sich in der Regel um endfällige Papieremit regelmäßigen Zinszahlungen, so dass bei der Entwicklung von Rechenformelneinige Vereinfachungen möglich sind. Bei Renditen sind unterschiedliche Defi- Springer Fachmedien Wiesbaden 2017T. Heidorn und C. Schäffler, Finanzmathematik in der Bankpraxis,DOI 10.1007/978-3-658-13448-8 225

2 Finanzmathematiknitionen üblich, die im Weiteren kurz erläutert werden. Zur Verdeutlichung dienteine Anleihe mit folgenden Ausstattungsmerkmalen:Beispielanleihe:Kupon: 8%Restlaufzeit: 9 JahreTilgung: 102 (102 ist sehr selten, im Regelfall wird zu 100 getilgt)Kündigungsmöglichkeit für Emittenten (Call): nach 5 Jahren zu 104Kurs: 110Da eine glatte Restlaufzeit vorliegt, müssen auch keine Stückzinsen gezahlt werden, der dirty price entspricht also dem clean price. NominalverzinsungDies ist der vom Emittenten versprochene Zinssatz, im Regelfall also der Kupon.Bezogen auf das Beispiel beträgt er 8%. Da hier jedoch weder Kapitaleinsatz nochmögliche höhere Rückzahlungen miteinbezogen werden, spielt diese Verzinsungnur im Hinblick auf das direkt zufließende Geld und die Besteuerung im privatenVermögen eine Rolle. Laufende Verzinsung (current yield)Die laufende Verzinsung ist der Quotient aus Nominalverzinsung und Kapitaleinsatz. Dies trägt dem einfachen Zusammenhang Rechnung, dass ein gleicherKupon bei geringerem Kapitaleinsatz eine höhere Rendite erbringen muss.rc KuponKursBeispiel:rc 8 7,27%110Bei dieser Berechnung bleiben Disagiogewinne oder -verluste außer Betracht, sodass sie auch nur ein sehr ungenaues Maß für die Rendite eines Wertpapierssind. Bei der Berechnung einer Rendite müssen aber Zins, Ausgabekurs,Rückzahlungskurs und Tilgungsmodalitäten berücksichtigt werden, um einengenauen Effektivzins zu erhalten.26

2.1 Grundlagen der Effektivverzinsung Einfache Verzinsung (simple yield-to-maturity)Bei dieser oft auch als kaufmännisch bezeichneten Methode werden Zins undanteiliger Rückzahlungsgewinn auf das eingesetzte Kapital bezogen und linear über die Laufzeit verteilt.rsim Kupon (Rückzahlung Kurs )LaufzeitKursBeispiel:rsim 8 (102 110)9 6,47 %110Dies ergibt eine erste Annäherung für eine Effektivverzinsung. Allerdings spielthier der Zeitpunkt der Disagiogewinne und -verluste keine Rolle, daher eignetsich dieses Verfahren nur für Überschlagsrechnungen bzw. für erste Näherungen bei Iterationsverfahren. Unterjährige Kupons werden nicht berücksichtigt,so dass sich dieses Verfahren kaum bei mehr als einer Kuponzahlung im Jahr anbietet. Das Ergebnis liegt allerdings relativ nah beim finanzmathematisch exaktenEffektivzins von 6,66 (vgl. 2.3.1). Yield-to-call, Yield-to-putHat der Emittent einer Anleihe das Recht, die Anleihe zu kündigen (Call), wird erbei fallenden Zinsen davon Gebrauch machen. Im Regelfall gibt dann die Yield-tocall über die Rendite im entsprechenden Zeitraum Auskunft. Meist sollten Papiere,die über dem Kündigungskurs notieren, mit der Yield-to-call-Rendite bewertetwerden, da eine Kündigung wahrscheinlich ist.Beim Yield-to-put hat der Anleihekäufer das Kündigungsrecht (Put), das er inder Regel bei steigenden Zinsen ausüben wird, um Renditeverbesserungen zuerreichen. Yield to average lifeBei laufenden Tilgungen wird nicht auf die letzte Tilgungstranche abgestellt, sondern eine Rendite in Bezug auf die mittlere Restlaufzeit errechnet.Bei der Berechnung von Renditen wird auf dem Geldmarkt und demAnleihemarkt unterschiedlich vorgegangen. Da der Geldmarkt relativ ähnlich derVorgehensweise der einfachen Zinsberechnung ist, wird er hier zuerst analysiert.27

2 Finanzmathematik2.2 Verzinsung von GeldmarktpapierenIm Regelfall wird auf dem Geldmarkt mit endfälligen Papieren ohne laufendeZinszahlung gearbeitet. Sie haben in der Regel eine Laufzeit unter einem Jahr,so dass der Effektivzins leicht zu berechnen ist. Im Gegensatz zu den anschließend behandelten Anleihen werden die einfachen Zinsen berechnet, d.h. nur mitdem Anteil der Tage an der Periode gewichtet.Die Zinstage werden von Land zu Land unterschiedlich gezählt. Generell werdendie wirklich abgelaufenen Tage (actual) berechnet und dann durch die Basisperiode (in der Regel ein Jahr) geteilt. Dabei wird das Jahr zum Teil mit 360 Tagen (USA, Deutschland), zum Teil aber auch mit 365 Tagen (Großbritannien)berechnet. Die alte Usance in Deutschland waren sogar 30 Zinstage provollständig abgelaufenem Monat (vgl. Abschnitt 2.6.1).2.2.1 DiskontpapiereIn den meisten Fällen ist eine Zinseszinsberechnung nicht erforderlich, da zwischenzeitlich keine Cash Flows anfallen. Eine einfache Diskontierung desRückzahlungsbetrages mit dem Effektivzins ergibt den Kaufpreis. Beispiele fürsolche Typen sind Handelswechsel, Schatzwechsel, Treasury Bills und meistensCommercial Papers.Generell folgt bei Diskontpapieren aus der simple yield-to-maturity:r Rückzahlung PreisHaltedauerPreis BasisperiodeDer Zähler der Formel gibt den Ertrag an, der während der Haltedauer zufließt,während der Nenner dies ins Verhältnis zum eingesetzten Kapital, bezogen auf dieBindungsdauer, setzt. Dies soll an einem Beispiel verdeutlicht werden.28

2.2.1 DiskontpapiereBeispiel:Abrechnungstag: 15.5.2000Fälligkeit: 1.8.2000Preis: 98,69acta) Usance: 360 (in Deutschland Geldmarktusance unter Banken)30b) Usance: 360 (in Deutschland zum Teil Geldmarktusance bei Kunden)Zuerst müssen die Tage berechnet werden. Bei der Usance a) sind dies 78,während bei der Usance b) durch die Monatszählweise mit 30 Tagen nur mit76 Tagen gerechnet wird.Daraus ergibt sich eine Verzinsung vona)re b)re 100 98,69131, 6,126% ,78213828,98,69 360100 98,69131, 6,288% .7620,834698,69 360Wenn der Zins für unterschiedliche Basisperioden berechnet werden soll, kanner leicht umgerechnet werden. Aufgrund des linearen Zusammenhangs gilt:IRR360 365 IRR36536029

2 Finanzmathematik2.2.2 Einmalige Zinszahlung bei FälligkeitIn seltenen Fällen werden Geldmarktpapiere auch zum Nennbetrag ausgegebenund dann bei Fälligkeit einschließlich einer Zinszahlung zurückbezahlt. Dadiese Papiere einen Nominalzins (C) haben, muss beim Kauf während der Laufzeitmit Stückzinsen gearbeitet werden. Daraus ergibt sich dann folgende Formel:re Rückz. Laufzeit Kupon Preis StückzinsenHaltedauer Preis Stückzinsen BasisperiodeAuch hier gibt der Zähler die Differenz von Zahlung bei Kauf und dem am Ende zuerhaltenden Betrag an. Dies muss auf das eingesetzte Kapital, gewichtet mit derHaltedauer, bezogen werden. Der Unterschied zu Diskontpapieren liegt in deneventuell zu leistenden Stückzinsen auf den Kupon.Beispiel:Emission: 5.3.2000Kaufvaluta: 15.5.2000Fälligkeit: 20.6.2000Kupon:6%Preis:99,975Usance:30/360Von der Emission bis zum Kauf sind 70 Tage vergangen, bis zur Fälligkeit wirddas Papier dann weitere 35 Tage gehalten, so dass die Gesamtlaufzeit105 Tage beträgt.10570 6 99,975 6 360360 6,19%70 35 6 99,975 360 360100 re Literatur: Uhlir/Steiner (2000), Wagner (1988)30

2.3.1 Endfällige Anleihen2.3 rBei der Analyse von Gegenwartswerten wird der Zinssatz der entsprechendenPeriode genutzt, um den Barwert eines Cash Flows zu ermitteln. Diese Form derBewertung wird meist bei Projekten angewandt, um die Kosten mit den möglichenErträgen vergleichbar zu machen. Da aber am Rentenmarkt in der Regel ein Kurszur Verfügung steht, wird als Vergleichskriterium von Anleihen meist die Effektivverzinsung (IRR, Internal Rate of Return) herangezogen. Die Effektivverzinsung ist der Zinssatz, mit dem man alle zukünftigen Zahlungen abzinsen muss,damit ihr Barwert dem Kurs der Anleihe entspricht.P C1 1 IRR 1 C2 1 IRR 2 C3 1 IRR 3 . Cn Rückzahlung 1 IRR nDer Zinssatz (IRR), der diese Gleichung löst, ist also die Effektivverzinsung ( re ).Da es sich im Regelfall um eine Gleichung n-ten Grades handelt, muss die Lösung durch ein Iterationsverfahren gefunden werden. Bessere kaufmännischeTaschenrechner und Computerprogramme bieten dies für glatte Restlaufzeitenregelmäßig an, so dass hier entsprechende Formeln nur kurz erwähnt werden.2.3.1 Endfällige AnleihenDie einfachste Form der endfälligen Anleihe ist der Zerobond. Die Verzinsungberuht nur auf dem Unterschiedsbetrag von Ausgabepreis und Rückzahlung.Bei der finanzmathematischen Betrachtung ist es egal, ob es sich um einen Zinssammler (Aufzinsungspapier) handelt, d.h. Zinsen werden nicht ausgeschüttet,sondern wieder angelegt, oder ob es sich um ein Diskontpapier(Abzinsungspapier) handelt. Da alle Kupons gleich 0 sind, reduziert sich dieFormel auf:P Rückzahlung 1 IRR n.So lässt sich der Effektivzins leicht ermitteln.1 Rückzahlung nre IRR 1 P31

2 FinanzmathematikBeispiel:Die Effektivverzinsung eines 5-jährigen Zerobonds mit einer Laufzeit von5 Jahren und einem Ausgabekurs von 62,09 ist also 10%.1 100 5re IRR 1 10% 62,09 Als Usance wird in Deutschland von einer jährlichen Zinsvergütung ausgegangen, die dann zum Effektivsatz wieder angelegt wird. Da es jedoch auch Anleihengibt, die halbjährlich zahlen, sollte genau analysiert werden, wie solche Papierebewertet werden müssen. Bei mehreren Zahlungen im Jahr können Beträge schonunterjährig wieder angelegt werden. Sie werden dann entsprechend mitverzinst.Eine Anlage von 1000 über 3 Jahre, die mit 6% verzinst wird, erreicht einenEndwert von 1191,02.Tabelle 2.1JÄHRLICHE VERZINSUNG MIT 6%JahrPVVerzinsungFV11 000,00 106, 1 060,0021 060,00 106, 1 123,6031 123,60 106, 1 191,02Ist der Zinsmodus halbjährlich, wird jeweils die Hälfte der Zinsen bereits in derJahresmitte ausgeschüttet. Da sie schon zu diesem Zeitpunkt wieder angelegtwerden können, ergibt sich folgende Zahlungsreihe:32

2.3.1 Endfällige AnleihenTabelle 2.2HALBJÄHRLICHE VERZINSUNG MIT 6%JahrPVVerzinsungFV0,51 000,00 103, 1 030,0011 030,00 103, 1 060,901,51 060,90 103, 1 092,7321 092,73 103, 1 125,512,51 125,51 103, 1 159,2731 159,27 103, 1 194,05Durch die Möglichkeit der früheren Wiederanlage steigt der gesamte Zinserfolg biszur Periode 3 von 191,02 auf 194,05. Soll sich diese Wirkung im Zinssatz widerspiegeln, muss bei einer nicht jährlichen Verzinsung der Periodeneffektivsatz aufeinen Jahreseffektivsatz hochgerechnet werden. Daraus resultiert entsprechenddie Formel: IRRnominalIRRann effektiv 1 Kupons pro Jahr Kupons pro Jahr 1Beispiel:2 0,06 IRRann 1 1 0,0609 6,09% 2 Die Umrechnung bezieht sich nur auf den Wiederanlageeffekt. Legt man zu diesem Satz einen Betrag jährlich an, erhält man das gleiche Endvermögen wie beihalbjährlicher Zahlung:33

2 FinanzmathematikTabelle 2.3JÄHRLICHE VERZINSUNG MIT DEM PERIODENEFFEKTIVSATZJahrPVVerzinsungFV11 000,00 10609, 1 060,9021 060,90 10609, 1 125,5131 125,51 10609, 1 194,05Erhöht man die Zahlungen pro Jahr weiter, ergibt sich bei einer monatlichen Zahlung und einem Nominalzins von 6% ein Effektivsatz von 6,17%. 0,06 IRRann 1 12 12 1 0,0617 6,17%Auch der Zukunftswert kann dann leicht in Abhängigkeit von der Häufigkeit derKuponzahlungen ermittelt werden. Nominalzinssatz FV PV 1 Kupons pro Jahr 0.06 1194,05 1000 1 2 Laufzeit Kupons pro Jahr3 2Mit dieser Formel kann dann der Effekt einer Verkürzung der Zinsperioden untersucht werden. Bei der Anlage von 100 zu 10% für 5 Jahre entstehen bei jährlicher Verzinsung 0,1 100 1 1 15 0,1 bei halbjährlicher Verzinsung 100 1 2 bei monatlicher Verzinsung340,1 100 1 12 16105,2 5 162,8912 5 164,53

2.3.1 Endfällige Anleihen bei täglicher Verzinsung0,1 100 1 365 365 5 164,86Die Veränderung der Verzinsung nimmt zwar bei jeder Verkürzung der Verzinsungsperiode zu, jedoch werden die Unterschiede immer kleiner. Bei einer"sekündlichen" Verzinsung erreicht man dann fast den Grenzwert einer kontinuierlichen Verzinsung. Dies ist eine Funktion der natürlichen Zahl e 2,718 (vgl.7.2). Nominalzinssatz 1 Kupons pro Jahr mit Laufzeit Kupons pro JahrKupons pro JahrNominalzinssatz1 lim 1 Nominalzins Laufzeit1 1 Nominalzins LaufzeitKupons pro Jahr dann 1 lim 1 Nominalzins Laufzeit e Nominalzins LaufzeitDamit ergibt sich für die kontinuierliche Verzinsung:FV PV e Laufzeit rcontmit rcont kontinuierlicher Vergleichszins.Bei einer Verzinsung von 10% und einer Laufzeit von 5 Jahren ergibt sich bei Anlage von 100:FV 100 2,71828 5 0,1 164,872Der Wert unterscheidet sich kaum noch von der täglichen Verzinsung. Der kontinuierliche Zins ist sehr wichtig in der Optionstheorie. Dabei spielt es eine Rolle, dieZinssätze ineinander umrechnen zu können. Damit der Zukunftswert bei diskreter und kontinuierlicher Verzinsung identisch ist, muss gelten:35

2 Finanzmathematik Nominalzins PV e rcont n FV PV 1 Kupons pro Jahr Nominalzins e rcont n 1 Kupons pro Jahr Kupons pro Jahr nKupons pro Jahr n Nominalzins rcont Kupons pro Jahr ln 1 Kupons pro Jahr Ein jährlicher Zinssatz von 10% entspricht also einer kontinuierlichen Verzinsungvon 9,53%.0,1 rcont 1 ln 1 9,53% , 1 da 100 e 0,0953 5 16105,Die Umrechnung von Zinssätzen ist bei allen Anleiheformen möglich.Bei einem Zerobond mit halbjährlicher Zinsverrechnung gilt entsprechend folgendeFormel:P Rückzahlung IRR 1 2 n 2So lässt sich der Jahreseffektivzins mit1 n 2Rückzahlung errechnen.IRR 2 1 P Also ergibt sich die Effektivverzinsung eines 5-jährigen Zerobonds mit einer Laufzeit von 5 Jahren und einem Ausgabekurs von 62,09 auf 9,76% wie folgt:1 100 5 2 IRR 2 1 0,0976 9,76% 62,09 36

2.3.1 Endfällige AnleihenDie meisten Anleihen sind jedoch mit einem Kupon ausgestattet, so dass dieAnalyse des Zahlungsstroms schwieriger wird. In der allgemeinen Formel kanndann statt der Zahlung (Z) der identische Kupon (C) benutzt werden.P C1 1 IRR 1 C2 1 IRR 2 C3 1 IRR 3 . Cn Rückzahlung 1 IRR nDieser Zahlungsstrom setzt sich einerseits aus der Rückzahlung am Ende derLaufzeit und andererseits aus den Kuponzahlungen während der Laufzeit zusammen.P Rückzahlung 1 IRR nnCi 1 1 IRR i Die Summe der Kuponzahlungen ist eine endliche geometrische Reihe (vgl. 8.1).Unter Ausnutzung der Summenformel kann die Gleichung wie folgt umgeformtwerden:P Rückzahlung 1 IRR nn1 IRR 1 C . 1 IRR n IRRDiese Gleichung lässt sich nicht mehr einfach nach der Verzinsung auflösen,so dass das Ergebnis durch "Probieren", also durch ein Suchverfahren, gefundenwerden muss. Dies ist heutzutage mit Computern und Taschenrechnern relativeinfach.Beispiel:Bei einer 9%-Anleihe mit Restlaufzeit von 5 Jahre undRückzahlungskurs von 102 ergibt sich bei einem Kurs von 114,13:einem51 IRR 1 114,13 9 1 IRR 5 IRR 1 IRR 5102Der Taschenrechner zeigt einen Effektivzins von 6%. Dies kann durch Einsetzen leicht überprüft werden:5, 1106 0,3382 9 76,22 9 114,1355,08030, , 0,06 106 10610237

2 FinanzmathematikInsoweit ist der Effektivzins unabhängig von der Rechenmethode, bei glattenLaufzeiten wird bei allen Verfahren in dieser Weise gearbeitet.Literatur: Wagner (1988), Weston (2000)2.3.2 Anleihen mit besonderen TilgungsformenIm Allgemeinen werden Anleihen am Ende der Laufzeit getilgt, jedoch kommenauch andere Tilgungsformen vor. Generell muss dann dieser Zahlungsstrom entsprechend diskontiert werden, um dann durch "Probieren" eine Lösung zu ermitteln.P Z1 1 IRR 1 Z2 1 IRR 2 Z3 1 IRR 3 . Zn 1 IRR nZ n Zahlung zum Zeitpunkt nEine häufige Variante, die insbesondere aus dem Kreditgeschäft bekannt ist, istdie Verbindung von Tilgung und Zinszahlungen. Der Bond leistet also über diegesamte Laufzeit in jeder Periode die gleiche Rate, wobei der Zinsanteil ständigabnimmt, während der Tilgungsanteil steigt. Somit ist in der letzten Periode ohnezusätzliche Zahlung die gesamte Schuld zurückgeführt.Beispiel:Bei einem 4-jährigen Bond wird jeweils eine Rate von 31,55 fällig. Der Kursliegt bei 100, so dass durch "Probieren" ein Effektivsatz von 10% ermittelt wird.Dies lässt sich leicht veranschaulichen:3155,3155,3155,3155, 28,68 26,07 23,70 2155, 100,0012311,11,11,11,4Jedoch verändert sich der Anteil von Zins und Tilgung bei jeder Zahlung.38

2.3.3 Fallstudie NeuemissionenTabelle d100,00131,55-100,00 0,1 21,5578,45231,55-78,45 0,1 23,7154,74331,55-54,74 0,1 26,0828,66431,55-28,66 0,1 28,680An diesem Beispiel kann anschaulich die Idee des Effektivzinses erklärt werden.Der Effektivzins berücksichtigt jede Zahlung und diskontiert sie entsprechend ihresZeitpunkts. So werden die Zinsen immer nur auf die Restschuld berechnet. Mitjeder Zahlung nimmt diese Restschuld ab, so dass der Zinsanteil von 10 auf 2,866zurückgeht. Gleichzeitig wächst der Tilgungsteil von 21,55 auf 28,68.2.3.3 Fallstudie NeuemissionenDie Firma Power plant die Aufnahme von 100 Millionen für fünf Jahre. EineMöglichkeit ist die Emission einer Anleihe, wobei den Usancen gemäß Power eineGebühr von 2% des Nominalbetrags und 200.000 am Zahltag als Emissionskosten aufwenden müsste. Das Entscheidungskriterium für Power sind die All-inKosten, also der Effektivsatz, der alle Zahlungen berücksichtigt.Wenige Tage vorher wurde von der Firma Boom bereits eine 8%-Anleihe mitfünf Jahren Laufzeit platziert. Da Power und Boom vom Kapitalmarkt ähnlicheingeschätzt werden, wird diese Anleihe für den Renditevergleich auf derInvestorenseite herangezogen. Die Anleihe handelt unter Banken zum Kurs 98,00.Damit errechnet sich eine Effektivverzinsung von 8,51%.Der Markt scheint im Moment eher an höheren Kupons interessiert zu sein, und soentscheidet sich die Emissionsbank für 8,25%. Bei einem Ausgabekurs von 99%ergibt sich eine Rendite von 8,50%.99,00 8,258,258,258,25108,25 1234(1085,)(1085,)(1085,)(1085,)(1085,)539

2 FinanzmathematikDa die Handelsabteilung für eine solche Ausstattung Bedarf sieht, kann ein Angebot an Power unterbereitet werden. Um die Effektivkosten zu berechnen, müssenvom Emissionspreis 2% der Nominalsumme und zusätzlich 200 000 abgezogenwerden. Damit fließen Power 96,8 Mio. bei Emission zu. Die Effektivverzinsungliegt damit bei 9,07%.96,8 8,258,258,258,25108,25 1234(10907,)(10907,)(10907,)(10907,)(10907,)5Power muss nun vergleichen, ob andere Anleihen oder Kredite zu einer günstigeren Finanzierung führen. Ist dies nicht der Fall, wird Power das Emissionsangebotannehmen.2.3.4 Effektivverzinsung unter SteuergesichtspunktenBei der Ermittlung von Effektivzinsen blieben Steuern bisher außer Acht. Da aberim Regelfall nicht die zufließenden Beträge, sondern die netto verfügbaren Gelderwichtig sind, muss eine Effektivverzinsung nach Steuern berechnet werden.Viele Steuersysteme behandeln Zinsen und Kapitalerträge bei privatenInvestoren unterschiedlich. Teilweise müssen im Privatvermögen Zinsen nachErreichen des Freibetrags mit dem individuellen Grenzsteuersatz versteuertwerden, hingegen sind Kapitalerfolge unter Wahrung bestimmter Haltedauernsteuerfrei. In Deutschland wurde dieser Unterschied aufgehoben.Für jeden Anleger kommt es dann, je nach Situation und persönlichem Steuersatz, zu unterschiedlichen Anlageentscheidungen. Bei der Ermittlung der Effektivverzinsung wird vom Zahlungsstrom nur der netto zufließende Betragberücksichtigt. Ist z.B. der Rückzahlungsgewinn steuerfrei der Kupon aber nichtergibt sich folgende Formel:P 40Rückzahlung 1 IRRnach Steuern n i 1 1 Steuersatz C 1 IRRnach Steuer i

2.3.4 Effektivverzinsung unter SteuergesichtspunktenBeispiel:Diese Formel wird am Beispiel folgender 3-jährige Anleihen erklärt:Tabelle 2.5ANLEIHENKürzelLaufzeitKuponPreis nettoA3 Jahre6%96,20B3 Jahre10%102,70Die beiden Investoren Poor und Rich haben einen marginalen Steuersatz von20% bzw. 60%. Ihre Freibeträge sind bereits ausgeschöpft. Entsprechendergibt sich eine Effektivverzinsung der Anleihen von:A) Kupon 6%, Preis 96,20Netto Zufluss Poor sind 80% von 6 4,8Netto Zufluss Rich sind 40% von 6 2,4rvor Steuern 7,46%rPoor 6,23%rRich 3,76B) Kupon 10%; Preis 102,7Netto Zufluss Poor sind 80% von 10 8Netto Zufluss Rich sind 40% von 10 4rvor Steuern 8,93%rPoor 6,97%rRich 3,04%Obwohl vor Steuern die Anleihe B eindeutig eine höhere Verzinsung erbrachte,ergibt sich nach Steuerbetrachtung, dass sich nur Poor für diese Anleiheentscheiden sollte.Durch das Disagio der Anleihe A fließt Rich ein steuerfreier Kapitalgewinn zu. Diesbedeutet eine Effektivverzinsung nach Steuern von 3,76% und ist für ihn derhöhere Satz. Diese Steuerproblematik stellt sich bei den meisten Anleihetypen, sodass eine sinnvolle Auswahl für Privatinvestoren unbedingt die steuerliche Seiteberücksichtigen muss. Weiterhin wird zwischen Privatvermögen undBetriebsvermögen unterschieden. Generell müssen beim Betriebsvermögensowohl die Zinsen als auch der Kapitalerfolg versteuert werden. Im Allgemeinenkönnen dabei Kapitalverluste aus der Differenz von Erwerbs- und Tilgungskursüber die Laufzeit verteilt abgeschrieben werden, sonst gilt dasRealisationsprinzip. Somit sind im Betriebsvermögen oft die Zeitpunkte desZuflusses über den Effektivzins hinaus wichtig.Literatur: Uhlir/Steiner (2000)41

2 Finanzmathematik2.4 Bedeutung der ZinsstrukturkurveEine große Schwierigkeit bei der Bewertung mit Effektivzinsen ist die Tatsache,dass alle Zahlungen mit dem gleichen Zinssatz diskontiert werden. In der Realität werden jedoch oft unterschiedliche Zinssätze in Abhängigkeit von der Laufzeitvergütet. Dies wird in der Regel durch eine Zinsstrukturkurve beschrieben. Beieinem horizontalen Verlauf sind die Zinsen in den Laufzeitsegmenten annäherndgleich, bei steigender Kurve (auch oft als "normale" Zinskurve bezeichnet) liegendie langfristigen Zinsen über den kurzfristigen, beim inversen Verlauf ist es dannumgekehrt. Bei einer nicht horizontalen Zinskurve muss also der Effektivzinseinen Durchschnitt bilden, man versucht mit einer einzigen Zinszahl eineZinsstruktur zu beschreiben. Solange relativ ähnliche Zahlungsströme in Bezugauf Struktur und Laufzeit verglichen werden, ist die Gefahr einer Fehlentscheidung relativ gering. Bei komplizierteren Strukturen ist das Effektivzinskriterium nicht unbedingt ausreichend.2.4.1 Spot Rates und Forward RatesEine Alternative ist die Diskontierung der Zahlungen mit den periodengerechtenZinssätzen, um dann die Barwerte mit dem Preis am Markt zu vergleichen. Betrachten wir diesen Ansatz näher:P C1 1 r1 1 C2 1 r2 2 C3 1 r3 3 . Cn Rückzahlung 1 rn n.Bei einer gegebenen Zinsstruktur kann leicht der Gegenwartswert und damit derfinanzmathematisch richtige Preis errechnet werden. Dazu werden die Spot Rates( rsn ) herangezogen, also der Zerozins, der genau für den Zeitraum von heute bisn verlangt wird.42

2.4.1 Spot Rates und Forward RatesGegebene Zinsstruktur:Laufzeit von heute bis Ende Jahr 1rs1 10%Laufzeit von heute bis Ende Jahr 2rs 2 11%Laufzeit von heute bis Ende Jahr 3rs 3 12%Für einen 3-jährigen Bond mit einem Kupon von 10% ergibt sich dann ein Gegenwartswert von 95,50.PV 1010110 95,5021,1 (1,11)(1,12)3Bei der Berechnung des Effektivzinses für den Preis von 95,5 ergibt sich 11,87%,die Zinsstruktur geht damit verloren.Bei solchen Strukturen kann das Effektivzinskriterium in die Irre führen. Dies sollfolgendes Beispiel verdeutlichen.Beispiel:Am Markt wird die folgende Zinsstruktur beobachtet:rs1 10%rs 2 11%rs 3 12%Zwei 3-jährige Anleihen mit einem Kupon von 6% bzw. 12% haben einenfinanzmathematisch richtigen Barwert von 85,77 bzw. 100,37.66106 85,77 IRR 1192%,, 11111, 2 112, 31212112 100,37 IRR 1185%,11, 111, 2 112, 3Bei diesem Preis scheint der 6%-Kupon jedoch eine höhere Verzinsung mit einem Satz von 11,92% im Vergleich zu 11,85% zu erzielen. Das Effektivzinskriterium täuscht einen Wertunterschied von 0,07% vor.Zur korrekten Analyse müssen zuerst Spot Rates errechnet werden. Die einfachste Möglichkeit, aus dem Kapitalmarkt Spot Rates abzuleiten, ist die Analyse vonZerobonds der entsprechenden Laufzeit, da ja explizit keine Zahlungen in denZeitraum fallen sollen.43

2 FinanzmathematikFür einen Zerobond mit der Restlaufzeit von n Jahren und jährlicher Verzinsungerrechnet sich der Effektivzins mit:1rsn Rückzahlung n 1 PreisEntsprechend können aus den Kursen dreier Zerobonds, die mit 100 zurückgezahlt werden, die Spot Rates errechnet werden.Beispiel:Laufzeit 1 JahrKurs: 90,91Laufzeit 2 JahreKurs: 81,16Laufzeit 3 JahreKurs: 71,18Spot Rates:1rS1 100 1 1 10% 90,91 rS 2 100 2 1 11% 8116, rS 3 100 3 1 12% 7118, 11Während die Spot Rates zur Diskontierung eines Cash Flows die einfachste Möglichkeit darstellen, können aus der Spot-Rate-Struktur auch implizit die Sätze fürzukünftige Perioden errechnet werden. Diese Forward Rates ( rfn ) sind ein in derZukunft beginnender einperiodiger Zinssatz. Sie beruhen auf der Idee, dasseine Anlage über zwei Jahre genau so viel Zinsen erbringen muss, wie die Anlagefür ein Jahr und gleichzeitiger Abschluss einer Forward-Anlage in einem Jahr fürein Jahr. Dabei bezeichnet also rfn eine Anlage vom Jahr n 1 bis zum Jahr n. Ausden Spot Rates sollten sich bei informationseffizienten Märkten immer die Forward Rates (implied) errechnen lassen. Eine Anlage für n 1 Jahre bei gleichzeitigem Abschluss einer zukünftigen Anlage einschließlich der Zinsen in n 1 Jahrenfür ein Jahr muss den gleichen Ertrag ergeben, wie die Anlage des Betrages für nJahre. Es gilt daher:44

2.4.1 Spot Rates und Forward Rates 1 r n 1s n 1 rfn 1 rfn 1 rSn 1 rSn n 1 r n 1n 1s n 1Beispiel:Aus den o.g. Angaben ergibt sich folgende Forwardstruktur:Die Forward Rate ( rf 2 ) in einem Jahr für ein Jahr liegt bei 12,01%.rf 2 2, 1 rS 2 2 1 111 1 12,01%11, 1 rS1 1Der Forwardsatz in zwei Jahren für ein Jahr liegt bei 14,03%.rf 3 1 rS 3 3 1 rS 2 2 1 3, 1122, 111 1 14,03%Definitionsgemäß gilt:rf 1 rs1 10%Abbildung 2.1: Zinsstruktur mit Spot- und Forward RatesEs fällt sofort auf, dass eine steigende Zinskurve deutlich stärker steigende Forwards zur Folge hat. Um die Rechnung für die impliziten Forwards zu überprüfen,wird ein Betrag von 100 einmal zum Spotsatz für 2 Jahre angelegt. Dies ergibt:, ) 2 123,21FV 100 (1 rs 2 ) 2 100 (11145

2 FinanzmathematikAlternativ können 100 zum Spotsatz für ein Jahr angelegt werden und gleichzeitigeine weitere Anlage einschließlich der Zinsen in einem Jahr für ein Jahr abgeschlossen werden.FV 100 (1 rs1 ) (1 rf 2 ) 100 11, 11201, 123,21Die impliziten Forwards stellen also keine Meinung über zukünftige Sätze dar,sondern sind ein reines Arbitrageergebnis aus der heutigen Zinskurve und können damit auch risikofrei abgesichert werden.2.4.2 Spot Rates als BewertungskriteriumIm Regelfall liegt aber keine ausreichende Zahl liquider Zerobonds vor. AlsHilfestellung können beispielsweise die Festsatzseite von Swaps und der Geldmarkt benutzt werden. Eine weitere interessante Möglichkeit ist das Zerlegen vonKupon-Bonds in ihre Bestandteile, d.h., es wird sozusagen eine Folge von künstlichen Ze

Hat der Emittent einer Anleihe das Recht, die Anleihe zu kündigen (Call), wird er bei fallenden Zinsen davon Gebrauch machen. Im Regelfall gibt dann die Yield-to-call über die Rendite im entsprechenden Zeitraum Auskunft. Meist sollten Papiere, die über dem Kündigungskurs notieren, mit der Yield-to-call-Rendite bewertet