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Rationale ZahlenEine rationale Zahl ist das Verhältnis zweier ganzer Zahlen. Die Menge aller rationalen Zahlen wirdmit Q bezeichnet, was sich vom Wort „Quotient“ ableitet. Rationale Zahlen können einerseits alsBruch und andererseits als endliche oder periodische Dezimalzahl geschrieben werden.1Rechnen mit BrüchenEin Bruch besteht aus zwei ganzen Zahlen, welche durch den sogenannten Bruchstrich getrenntwerden. Oben befindet sich der Zähler und unten der Nenner.Um den Kehrwert des Bruches zu erhalten, vertauscht man Zähler und Nenner. Der Kehrwert von 35lautet beispielsweise 35 . Außerdem ist es häufig notwendig, eine ganze Zahl als Bruch zu schreiben.Dazu wird die Zahl in den Zähler geschrieben und als Nenner die Zahl 1 verwendet. Beispielsweisekann die Zahl 5 als 15 geschrieben werden.1.1Kürzen und ErweiternIm Vergleich zu den ganzen Zahlen gibt es bei den Brüchen mehrere Darstellungen, welche densel50ben Wert besitzen. Beispielsweise haben die Brüche 12 und 100denselben Wert.Werden Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividiert, so ändert sich der Wert des Bruches nicht.Man bezeichnet das als Kürzen. Ebenso dürfen Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziertwerden. In diesem Fall spricht man vom Erweitern.Am Ende einer Rechnung sollten Brüche immer so weit wie möglich gekürzt werden.1.2Addition und SubtraktionUm Brüche addieren bzw. subtrahieren zu können, müssen sie zuvor durch Kürzen bzw. Erweiternauf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden.Man kann einen gemeinsamen Nenner erhalten, indem man die Nenner aller Brüche multipliziert.Dies ist jedoch nicht vorteilhaft, da hier meistens unnötig große Zahlen entstehen. Besser ist es,das kleinste gemeinsame Vielfache aller Nenner zu bestimmen. Man erhält auf diese Weise denkleinsten gemeinsamen Nenner.Haben alle Brüche den gleichen Nenner, so können die Zähler addiert bzw. subtrahiert werden. DieNenner bleiben dabei unverändert.Beispiel: Es soll das Ergebnis des folgenden Ausdrucks bestimmt werden:145 436Das kleinste gemeinsame Vielfache von 4, 3 und 6 ist 12. Daher müssen alle Brüche auf den Nenner 12 erweitertwerden. Anschließend werden die Zähler zusammengefasst. Am Ende wird das Ergebnis gekürzt.1·34·45·2316103 16 1093 4·33·46·212121212124 MATHE.ZONEhttps://mathe.zone/skripten16. Juni 2020Seite 1

1.3MultiplikationDie Multiplikation von Brüchen ist im Vergleich zur Addition und Subtraktion relativ einfach. Es werden dazu lediglich die beiden Zähler und die beiden Nenner multipliziert. Allgemein gilt also folgendeRegel:a ca·c· b db·dFalls möglich, sollten die Brüche vorher gekürzt werden, da sonst einerseits die Multiplikation schwieriger ist und andererseits die dadurch entstehenden Zahlen im Anschluss nicht so einfach gekürztwerden können.Da die beiden Zähler und die beiden Nenner ohnehin nachher multipliziert werden, kann hier auch„kreuzweise“ gekürzt werden. Das heißt, man könnte zum Beispiel die Zahlen a und d kürzen.Beispiel: Es soll das Ergebnis des folgenden Ausdrucks bestimmt werden.12 1512 33 39· · · 25 165 165 420Hier wurden zuerst 25 und 15 gekürzt und anschließend 12 und 16.1.4 DivisionUm zwei Brüche zu dividieren, wird in der Praxis stattdessen eine Multiplikation mit dem Kehrwertdes zweiten Bruches durchgeführt. Es gilt daher folgende Regel:a da·da c: · b db cb·cHerleitung: Ausgangsbasis bildet die folgende Gleichung:a c: xb dDabei steht die Variable x für das unbekannte Ergebnis der Division. Im ersten Schritt werden beide Seiten derGleichung mit dc multipliziert, was zu folgendem Resultat führt:ca x·bdNun werden beide Seiten mit d multipliziert und durch c dividiert:a d· xb cAuf der rechten Seite bleibt erneut der Wert x übrig. Somit müssen die linken Seiten ab : dc undsein und man kann daher die Division durch eine Multiplikation mit dem Kehrwert ersetzen.ab· dc gleichwertig Auch hier sollte bereits vorher gekürzt werden. Bei der Division können die beiden Nenner und diebeiden Zähler gekürzt werden. Kreuzweise kann bei der Division nicht gekürzt werden. Das ist erstmöglich, wenn die Division durch eine Multiplikation mit dem Kehrwert ersetzt wurde.1.5DoppelbrücheUnter einem Doppelbruch versteht man einen Ausdruck folgender Gestalt:abcd MATHE.ZONEhttps://mathe.zone/skripten16. Juni 2020Seite 2

Es handelt sich dabei um die Division zweier Brüche, weshalb das Ergebnis gleich ist, wie im vorherigen Abschnitt:aa ca da·db: · c b db cb·cdHäufig verwendet man in diesem Zusammenhang auch die Merkregel „außen mal außen durch innen mal innen“.Beispiel: Es soll das Ergebnis des folgenden Ausdrucks bestimmt werden:34·125 113 25Der obige Ausdruck kann auch als Division geschrieben werden: 3 12· 14 5 12: 35Im nächsten Schritt werden die Klammern jeweils zu einem einzigen Bruch zusammengefasst und anschließend die Division durchgeführt: 3 356954 154 31211· 1 : · · :1 5151555155 111 1111 1.6Gemischte BrücheBei einem gemischten Bruch wird zuerst der ganzzahlige Anteil angeschrieben und rechts danebender verbleibende Bruch, dessen Wert nun kleiner als 1 ist. Ein Beispiel dafür wäre 3 12 .In der Mathematik ist diese Schreibweise nicht üblich, da die Rechenoperationen mit dieser Schreibweise nicht so einfach durchführbar sind und weil sie bei der Verwendung von Variablen nicht eingesetzt werden kann. Im Alltag ist sie eventuell nützlicher, da man schnell einen Überblick über denWert der Zahl bekommt, denn 3 12 ist intuitiv leichter vorstellbar als 27 .2VerhältnisseDurch ein Verhältnis wird beschrieben, wie verschiedene Größen zueinander stehen. Verwendet werden Verhältnisse beispielsweise bei Maßstäben, Kochrezepten, Mischungen (Legierungen, Farben)oder Gewinnaufteilungen. Angegeben wird ein Verhältnis in der Form a : b : c : .Kennt man den Wert einer einzigen Größe, so können damit alle anderen Größen bestimmt werden.Dazu berechnet man einen einzelnen Teil des Verhältnisses und multipliziert ihn mit den entsprechenden Koeffizienten.Beispiel: Beim sogenannten 1-2-3-Teig werden Mehl, Butter und Zucker im Verhältnis 3 : 2 : 1 gemischt. Es sollberechnet werden, welche Menge der übrigen Zutaten benötigt wird, wenn 180 g Butter verwendet werden sollen.180 g entsprechen zwei Teilen. Ein Teil sind daher 180 : 2 90 g. Drei Teile sind 90 · 3 270 g. Man benötigtsomit 270 g Mehl und 90 g Zucker. Kennt man den Gesamtwert aller Teile zusammen, so muss man zunächst ermitteln, wie viele Teilees insgesamt gibt und den Gesamtwert durch diese Anzahl dividieren, um einen Teil zu erhalten.Dieser Wert wird anschließend (wie schon im vorherigen Beispiel) mit den entsprechenden Koeffizienten multipliziert. MATHE.ZONEhttps://mathe.zone/skripten16. Juni 2020Seite 3

Beispiel: Eine Erbschaft von 135 000 BC soll im Verhältnis 10 : 6 : 5 : 3 auf die vier Erben aufgeteilt werden. Essoll berechnet werden, wie viel jeder bekommt.Insgesamt gibt es 10 6 5 3 24 Teile. Ein Teil entspricht daher 135 000 : 24 5625 BC. Die vier Personenerhalten somit die Beträge 56 250 BC, 33 750 BC, 28 125 BC und 16 875 BC. 3DezimalzahlenNeben der Bruchdarstellung kann jede rationale Zahl entweder als Dezimalzahl mit endlicher Anzahlan Nachkommastellen oder als periodische Dezimalzahl dargestellt werden.3.1Periodische DezimalzahlenUnter einer periodischen Dezimalzahl versteht man eine Dezimalzahl, bei welcher sich eine bestimmte Ziffernsequenz ohne Unterbrechung unendlich oft wiederholt.Ein Beispiel dafür ist die Zahl 12,04327327327327. In diesem Fall ist die Periode 327 und die Periodenlänge beträgt 3. Man kann diese Zahl auch schreiben als 12,04327 bzw. 12,043̇27̇. Die letztereSchreibweise ist eigentlich nur bei Zahlen mit Periodenlänge 1 gebräuchlich.3.2Umwandlung von Brüchen in DezimalzahlenUm einen Bruch in die Dezimaldarstellung umzuwandeln, schreibt man ihn als Division führt dieschriftliche Division mit Rest durch. Abgebrochen wird, sobald einer der folgenden beiden Fälle eintritt:– Man erhält den Rest 0. In diesem Fall handelt es sich um eine endliche Dezimalzahl.– Man erhält einen Rest, der bereits zuvor einmal vorgekommen ist. In diesem Fall handelt es sichum eine periodische Dezimalzahl. Die Periode erstreckt sich vom ersten Vorkommen des Restesbis zum Ende.Wenn mn ein vollständig gekürzter Bruch ist, so ist die maximale Periodenlänge der zugehörigenDezimalzahl n 1, denn es gibt nur n 1 verschiedene Reste ungleich 0 und daher muss spätestensder n-te Rest zum Abbruch der Division führen, da er bereits zuvor einmal vorgekommen ist.3.3Umwandlung von endlichen Dezimalzahlen in BrücheBei einer endlichen Dezimalzahlen z ermittelt man zunächst die Anzahl an Nachkommastellen. Gibtes k Nachkommastellen, so lautet der Ansatz folgendermaßen:z · 10k10kDadurch wird sichergestellt, dass der Zähler einer ganzen Zahl entspricht. Anschließend wird vollständig gekürzt.Beispiel: Die Zahl 17,925 soll in einen gekürzten Bruch umgewandelt werden.Die Anzahl an Nachkommastellen ist 3, weshalb die Zahl mit 103 1000 erweitert wird. Anschließend wird soweit wie möglich gekürzt.17925358571717,925 100020040 MATHE.ZONEhttps://mathe.zone/skripten16. Juni 2020Seite 4

3.4Umwandlung von periodischen Dezimalzahlen in BrücheBei einer periodischen Dezimalzahl z wird zunächst die Periodenlänge p ermittelt. Die gegebeneZahl z wird anschließend mit 10p multipliziert. Ziel ist es, die Periode durch Subtraktion wegfallen zulassen.Dies ist der Fall, wenn 10p · z z berechnet wird, da hier die Periode genau übereinander steht. DasErgebnis der Subtraktion muss anschließend noch durch den Faktor 10p 1 dividiert werden undpassend gekürzt bzw. erweitert werden.Beispiel: Die Zahl z 1,02573 soll in einen Bruch umgewandelt werden.Die Periodenlänge ist 3, weshalb z mit 103 1000 multipliziert wird. Man schreibt nun 1000z und z übereinanderund führt die Subtraktion durch:1025,735 735 73. 1000z1,025 735 73. z1024,710 000 00. 999zDurch Umformen der Gleichung 999z 1024,71 und anschließendes Kürzen erhält manz 1024,7110247134157 .9999990033300 Beispiel: Es soll die Zahl z 0,9̇ in einen Bruch umgewandelt werden.Durch Multiplikation mit 10 erhält man 10z 9,9̇. Die Subtraktion führt zur Gleichung 9z 9 und daraus folgtz 1. Die periodische Zahl 0,9̇ ist somit nicht nur fast 1 sondern tatsächlich exakt 1. MATHE.ZONEhttps://mathe.zone/skripten16. Juni 2020Seite 5

Rationale Zahlen Eine rationale Zahl ist das Verhältnis zweier ganzer Zahlen. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit Q bezeichnet, was sich vom Wort „Quotient“ ableitet. . Beispielsweise haben die Brüche 1 2 und 50 100 denselben Wert. Werden Zähler und Nenner durch dieselbe Z